| 研究実績の概要 |
自己交点数が 0 または負の曲線の存在性が、スペースモノミアル曲線のシンボリック・リース環の有限生成性に大きく影響する。その曲線は、あるローラン多項式とそのニュートンポリゴンに外接する三角形によって決まる。そのローラン多項式は既約であり、ある自然数 r に対して、(v-1,w-1)^r に入っていてニュートンポリゴンの面積は r^2/2 未満になる。それを満たすローラン多項式を r-nct と呼んで、r-nct の性質を調べた。r-nct のニュートンポリゴンの内点の個数は r(r-1)/2 以上になることが証明された。これは、非常に非自明で特徴的な r-nct の性質である。これが、シンボリック・リース環の有限生成性に大きく関わるはずだという直感があり、その感覚の理由をずっと探していた。He と Kurano-Nishida の予想に以前から取り組んでいたのであるが、それが肯定的に証明できた。その証明のキーとなったことが、r-nct のニュートンポリゴンの内点の個数は r(r-1)/2 以上になるというこの事実であった。このように、本研究で明らかになった結果によって、面白いことが証明できた。
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