| 研究課題/領域番号 |
18K03231
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
松下 大介 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (90333591)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | シンプレクティック / 自己同型群 / 離散力学系 |
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| 研究実績の概要 |
既約シンプレクティック多様体 X とその上の Beauville-Bogomolov 二次形式に関して自己自身との内積が 0 であるような直線束 L が与えられた時, L を固定する X の自己同型群 Aut(X,L) の構造および X への作用を研究している. 本年度は Aut(X,L) の構造に関して以下のような結果を得た. 一般に Aut(X,L) は有限生成な可換群 G で指数 |Aut(X,L):G| が有限となるようなものを含む事が知られている. この部分群 G の生成元の個数はこれまで上限が知られていたが, より詳しく X の第二ベッチ数から X の Nef 錐の L を含む錐の壁の数に 2 を加えたものを引いたものと等しい事を示した. さらに X の複素構造を適当に変形する事で Nef 錐を L を含む錐の壁が 0 となるようにする事が可能である事も示した. これはこれまで知られていた上限に一致している. さらにこの G による「商」はどのようになるか, という疑問を抱き, L が定める線形系がラグランジアンファイブレーション f : X -> S を定める場合に G がどのように作用するかを調べてみた. すると 底空間 S に有限群として作用し, f の非常に一般なファイバーは G の軌道の Zarisiki 閉包と一致する事が分かった. 続けて X が二次元の場合, すなわち K3 曲面の場合により詳しく G の作用を調べると, f に切断がある場合, f の一般のファイバーは G の作用に関して周期点, G の元 g に対してある自然数 n があり g の n 乗の作用に関して固定点となる事が分かった.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
この研究課題での一つの大きな目的は大域的トレリ型定理を利用してアバンダンス予想と呼ばれる予想を示すことである. この予想は既約シンプレクティック多様体 X の上に数値的に半正という性質を持つ直線束 L に対し, L から定まる線形系が完全可積分系を定めるくらい元を沢山持つ, ということを主張している. これまでの研究成果から, この予想を示すための幾つかの十分条件を得ているが, 今年度得られた, 大域的トレリ型定理から無限位数の自己同型群の存在とその多様体への作用による固定点の集合の様子は得られてている十分条件の一つが成立することを示唆するものであった. また, 当初の計画になかった成果として, 既約シンプレクティック多様体に無限離散群がラグランジアンファイブレーションと同変に作用する時, その作用が固定する幾何的対象, 部分多様体や連接層とラグランジアンファイブレーションの間に, 有限群による商とその特異点解消の間にある関係の類似のものがありそうな事が観測出来た. この関係をより詳しく見る事によって, 当初予定していたよりも多くの研究成果が見込まれる.
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| 今後の研究の推進方策 |
既約シンプレクティック多様体 X と Beauville-Bogomolov 二次形式に関して自己交点数が 0 の直線束 L の組 (X,L) の自己同型群 Aut(X,L) が無限位数と仮定する. 作業仮説として, 次の予想を立てている.
予想 : Aut(X,L) の無限位数の元 g に対し, 自然数 n に対して g の n 乗で固定される点からなる集合を X(n) とする. この時 n を全ての自然数を動かして X(n) の合併集合を取ると, これは X の Zariski 位相に関して稠密となり, さらに X のシンプレクティック形式を制限すると 0 となる.
この予想が正しい場合, X の非常に一般の点に対して, その点を通る L と交点数が 0 の代数曲線が存在することが従い, それから L が自由, すなわち L の線形系からラグランジアンファイブレーションが定まることがわかる. 現時点ではこの予想は X がK3 曲面で L から定まる楕円ファイブレーションが切断を持つ場合にのみ検証されている状態なので, 今年度はこの予想をまず 一般の K3 曲面, そして L の線形系が自由である場合に成立するかどうかを検証し, その検証の過程で一般の場合の証明を得ることを目論んでいる. またその過程で自己同型群とラグランジアンファイブレーションのいくつかの不変量の間の関係を検証する.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2019年度にスイス, チューリッヒで4回目の日欧ジョイントシンポジウムを開催するが, この研究集会では講演者は渡航費は主発国側で工面することにしている. 日本からの講演者は計8名になる予定で, その渡航費を支出するため, 2018年度から一部年度をまたぐ形で予算を確保した.
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