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今年度は，昨年度に引き続き「代数的数の有限類似」について考察し，その応用として，有理数体上の有限次ガロア拡大において完全分解する素数の新たな特徴づけを得た(Julian Rosen 氏，田坂浩二氏，山本修司氏との共同研究)。この特徴づけは非可換なガロア拡大にも適用可能であるという点において興味深いと思われる。
上記の結果を正確に述べる。Lを有理数体上の有限次ガロア拡大とし，Cをそのガロア群の共役類とする。このとき，素数からなるある有限集合Sと，有理数係数の斉次線形漸化式を満たす有理数列が存在して，Sに属さない任意の素数pについて，数列のp番目の項はpを法として0か1であり，1となることはpにおけるフロベニウス同型がCに属することと同値である。特に，Cとして単位元のみからなる共役類を取れば，p番目の項がpを法として1に等しいことと，pがLにおいて完全分解することが同値となる。なお，上記の集合Sと有理数列は(原理的には)具体的に構成できる。
以上の結果は Rosen 氏により導入された「代数的数の有限類似」の枠組みを用いることにより得られる。各素数pについて位数pの有限体を考え，すべての素数を走らせて直積を取る。この直積を，すべての素数を走らせた直和で割って得られる環を考える。代数的数の有限類似は，この環の元であって，有理数係数の斉次線形漸化式を満たす有理数列の素数番目の項を並べて得られるものである。Rosen 氏は，このような元をガロア理論的にも特徴づけており，これら二つの特徴づけの関係を具体的に記述することによって，上記の結果が得られる。
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