| 研究課題/領域番号 |
18K03234
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
大坪 紀之 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (60332566)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 超幾何関数 / L関数 / 虚数乗法論 / 有限体 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的はモチーフのL関数とレギュレーターを特殊関数論的に理解し、ベイリンソン予想などの数論幾何学における主問題に応用することである。特に、一般超幾何関数を用いて、L関数の特殊値や周期・レギュレーターを記述することを目標としている。
今年度は一般超幾何関数の根源にある一般超幾何モチーフに関する研究を継続して行った。また、一般超幾何モチーフのl進実現（lは素数）である有限体上の一般超幾何関数についての研究を継続して行った。
有限体上の一般超幾何関数は1980年代以降いくつかの定義がなされてきたが、本研究では新たな非常に一般的な定義を与えた。この定義は古典的な複素数体上の一般超幾何関数との類似が明快である。今年度は、この基礎理論に関する論文を発表し、いくつかの講演を行った。
また、上記研究の過程で、ガンマ関数の乗法公式の有限体類似である、ガウス和の乗法公式（Davenport-Hasseの定理）の初等的な（Stickelbergerの定理を経由しない）新証明を得ることができた。
さらに、古典的に知られている一般超幾何関数の積公式について、その有限体上の類似を証明した（瀬ノ上氏との共同研究）。これらの積公式はpFq型でp=q+1でない場合の一般超幾何関数が現れるものである。この結果について論文を発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
有限体上の一般超幾何関数については、当初の予定より順調に研究が進んでいる。これは、前年度の研究で有限体上の一般超幾何関数の自然な良い定義が発見でき、その基本的な諸性質が確立できたからである。その結果、古典的な複素数体上の場合と類似する、有限体上の一般超幾何関数の公式（和公式、変換公式、積公式）を多く証明することができた。得られた結果は2つの論文で発表した。
一般超幾何モチーフの構成についての研究も進めており、一定の進展を得ているが、発表にはもう少し時間がかかるだろう。
一方, Bruno Kahn氏との虚数乗法を持つモチーフの周期に関する共同研究については、コロナ禍の影響でKahn氏の訪日が中止になったこともあり、期待したほどには進んでいない。
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| 今後の研究の推進方策 |
有限体上の一般超幾何関数については、その多変数への拡張や、GKZ (Gelfand-Kapranov-Zelevinsky) 超幾何関数の有限体類似への拡張を研究する。また、超幾何関数の超合同（super-congruence) 問題との関連を調べる。
一方で、一般超幾何モチーフの構成についての研究を進め、そのp進周期を用いて新たなp進一般超幾何関数を定義する。さらに、有限体上の一般超幾何関数やDworkのp進超幾何関数などとの関係を明らかにしたい。
また、Bruno Kahn氏 (Jussieu数学研究所）との、虚数情報を持つモチーフの周期に関する共同研究を再開し、Gross-Deligne予想のl進類似やp進類似（l, pは素数）に関する部分を完成させたい。
2022年9月に国際研究集会「L-functions and Motives in Niseko 2022」を開催する。ここで本研究に関連する最新の知見を得るとともに、参加者との討論を行い、本研究を推進したい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍の影響で前年度から今年度への繰越があったが、今年度も出張の中止などがあり、その分の未使用額が次年度への繰り越しとなった。次年度では、今年度に開催する予定だった研究集会「L-functions and Motives in Niseko 2022」は次年度に開催することになり、またいくつかの出張も予定していることから、繰り越し分は計画的かつ合理的に使用することができる。
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