| 研究課題/領域番号 |
18K03235
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| 研究機関 | 金沢大学 |
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研究代表者 |
若槻 聡 金沢大学, 数物科学系, 教授 (10432121)
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| 研究分担者 |
都築 正男 上智大学, 理工学部, 教授 (80296946)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 整数論 / 保型形式 / 跡公式 / ヘッケ固有値 |
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| 研究実績の概要 |
保型形式とはリー群の離散商上に定義されるラプラス作用素の固有関数のことである。そして、保型形式の空間上にはヘッケ作用素と言われる離散群を用いて定義される別の線形作用素が存在しており、ラプラス作用素とヘッケ作用素は同時対角化可能となっている。つまり、これらすべての作用素の固有関数を考えることができ、そのような関数をヘッケ固有関数と呼び、その固有値をヘッケ固有値と言う。ヘッケ固有値は非常に興味深い性質を持っており、様々な整数論的な対象を結びつくことが知られている。そのため、整数論において最も重要な研究対象のうちの一つとなっている。本研究の目的は、様々な保型形式の族に関するヘッケ固有値の漸近公式を与え、さらに漸近公式を導くための新たな理論の構築を目指すことである。今年度の成果として、フーリエ積分作用素とヘッケ作用素を組み合わせることに成功し、ラプラス固有値の方向についてコンパクトな算術商上のヘッケ・マース形式のヘッケ固有値の漸近公式を導くことに成功した。従来のヘッケ固有値の漸近分布の研究では主に跡公式が用いられていたが、本研究ではフーリエ積分作用素を用いる新しい方法を考案した。さらに、この方法による新しい結果として、極大コンパクト群の表現付きの保型形式に対する漸近分布の公式を得ることができた。また別の成果として、ある系列の点における新谷二重ゼータ関数の正則性を証明した。この事実は正則ジーゲル保型形式のヘッケ固有値の漸近公式を導くために必要とされる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
フーリエ積分作用素とヘッケ作用素を組み合わせる研究が当初の予想以上に進展しているため。コンパクトでない算術商の保型形式へも適用できる可能性が出てきており、今後、大きく進展することが期待できる。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究計画の中で最も進みの良いフーリエ積分作用素を用いる研究に力を入れて、更なる進展を導きたい。正則ジーゲルカスプ形式のヘッケ固有値の研究も順調に進んでるので、早い時期に漸近公式を完成させたい。一方でアーサー跡公式の研究に関しては、技術的な積み重ねに非常に時間がかかるため、研究計画の後半で成果を導けるように地道に作業を進めていく予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度に行う予定だった海外出張を都合が悪くなり取りやめた。そのため、１回分の海外出張の費用分が次年度使用として生じてしまった。次年度使用に関しては再び海外出張の費用として使用する計画である。
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