| 研究課題/領域番号 |
18K03239
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
星 裕一郎 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (50456761)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 遠アーベル幾何学 / 準三点基 / 絶対版遠アーベル開基 / 単遠アーベル的復元アルゴリズム / 等分点 / ハッセ・ヴィット不変量 / 可積分接続 / 超特別還元 |
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| 研究実績の概要 |
「補助事業期間中の研究実施計画」に記載した平成３１年度研究テーマの「（４）特殊な双曲的多重代数曲線に対する遠アーベル予想の解決」の研究として，準三点基に対する絶対遠アーベル幾何学の研究を行い，特に，比較的一般的な一般化劣p進体上の準三点基に対する絶対版遠アーベル予想を解決した．また，この応用として，比較的一般的な一般化劣p進体上の任意の非特異代数多様体が，絶対版遠アーベル多様体による開基を持つ，という事実を証明した（論文掲載確定）．その上，同研究テーマに関する研究として，辻村昇太氏・室谷岳寛氏と共同で，実閉体上の代数多様体の代数的基本群における幾何学的部分群の単遠アーベル的復元アルゴリズムの研究を行った（論文投稿中）．
「補助事業期間中の研究実施計画」に記載した平成３１年度研究テーマの「（５）双曲的通常曲線の数論幾何学的性質（例えば正準持ち上げの結果の定義体など）の研究」に関する研究として，アーベル多様体の豊富な有効因子の上の等分点の研究を行い，その応用として，例えば，奇数標数pの代数的閉体上の射影的双曲的代数曲線に対して，次数がpー１の約数である有限次エタール被覆であって，ハッセ・ヴィット不変量が非零であるものが存在することを証明した（論文投稿中）．この事実は，p進タイヒミュラー理論の基本問題の１つ「奇数標数の代数的閉体上の任意の双曲的代数曲線は双曲的通常であるか？」の肯定的解決に対する必要条件である．また，同研究テーマに関する研究として，「可積分接続」という概念の一般論の研究を行い，「可積分接続はPD階層化に一意的に延長される」「p曲率が零である可積分接続はフロベニウス降下可能である」という可積分接続に関する2つの事実の一般化・幾何学的証明を確立した（論文投稿中）．
また，絶対不分岐底上で半安定超特別還元を持つ射影的双曲的代数曲線の等分点の分岐の研究を行った（論文投稿中）．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「補助事業期間中の研究実施計画」に記載した平成３１年度研究テーマに関連するいくつかの研究成果が実際に得られているため．
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| 今後の研究の推進方策 |
「補助事業期間中の研究実施計画」に記載した平成３２年度の研究テーマ，つまり，「（６）高次元代数多様体に対する遠アーベル幾何学の研究」，「（７）単遠アーベル的復元アルゴリズムによる双曲的代数曲線の幾何学の模倣・模擬の実行」に関連した研究を行おうと考えている．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
（理由）研究遂行のために必要であると計画されていた旅費が，当初計画よりも大幅に小さくなってしまったため，次年度使用額が生じた．
（使用計画）次年度使用額は，現時点では，外国人研究者の招聘のための費用や，あるいは，研究発表のための旅費に充当される予定である．（しかしながら，この度の新型コロナウイルス感染症の拡大防止のための様々な「活動の制限」によって，この充当が実際に実行可能であるかどうかは，現時点では，不明確である．）
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