| 研究課題/領域番号 |
18K03242
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| 研究機関 | 愛媛大学 |
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研究代表者 |
山崎 義徳 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 准教授 (00533035)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | Ramanujan グラフ / Ihara ゼータ関数 |
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| 研究実績の概要 |
昨年度に引き続き、Lubotzky-Phillips-Sarnak によって構成されたグラフの一般化について研究を行った。これは一般の四元数環とその整環に対して構成されるグラフであり、Lubotzky-Phillips-Sarnak、Chiu らによって、特別な場合に Ramanujan グラフになることが確認されている。本年度は、整環として Ibukiyama によって与えられたパラメータ付き極大整環をとり、類数が1、かつ整環の単数群が±1、という特別な条件の下でこのグラフが Ramanujan グラフになることを証明することができた。単数群がもっと大きい場合については議論が一部うまくいかない点が出てくるため、この場合は来年度も引き続き議論する予定である。また、今回証明できた Ramanujan グラフの暗号への応用の可能性についても考察を行った。以上は筑波大学の Hyungrok Jo 氏と日本大学の杉山真吾氏との共同研究である。
一方で、一般の有限グラフに対して、基本群の表現付き Ihara ゼータ関数の対数微分についての研究も行った。その原点における Taylor 展開の係数は対応する表現の指標和で書けることが知られており、それを用いることで基本群の群としての性質を調べることができる。本年度は Petridis-Risager による基本群が自由群でかつ表現が1次元の場合の結果を2次元表現の場合に一般化することを試みた。これについては現在も研究継続中である。以上はニューヨーク市立大学シティカレッジの Gautam Chinta 氏との共同研究である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今回得られた結果によって、Lubotzky-Phillips-Sarnak、Chiu らが扱った四元数環以外の四元数環についても、同様の手法でそれから Ramanujan グラフを構成することができる、ということが明らかとなった。これは大きな進展であり、今後より一般的な枠組みで Ramanujan グラフを構成する際の足掛かりとなることが期待できる。また、証明に付随して、今回のグラフの代数的な性質もより明確となったので、本年度証明ができなかった点については今後見通し良く議論することができると考えられる。
一方で Ihara ゼータ関数の対数微分を用いて基本群の性質を調べる、という研究は、ゼータ関数論的には極めて自然な研究方向ではあるが、グラフ理論的にはあまり前例がないようである。従って、ここで一般論を整理・展開しておくことは、両者の境界領域のすそ野を広げる、という意味でも有意義であると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在までに Ramanujan 性が証明できているのは、上に書いたように極大整環の類数が1で、かつ単数群が±1という非常に特別な場合のみである。一方で、コンピュータを使った数値実験によると、類数が1のとき、単数群が±1以外の場合でも Ramanujan グラフになる例をいくつか確認している。そこで今後は上記単数群の仮定を外した状態で Ramanujan 性の証明を与えることを目標とする。今回の証明で議論すべき点がはっきりしたので、その点を中心に議論の再整備を行う。無事証明ができたら、その後は整環を極大整環からもっと一般に Eichler 整環に取り換えるなど、どの程度一般的な状況で Ramanujan 性が証明できるか調べる。
また Ihara ゼータ関数の対数微分を用いた基本群の研究については、まだ研究の初期段階なので、上述の基本群が自由群でかつ表現が2次元という場合に、基本群、つまり自由群について Petridis-Risager と同様の議論ができるかを確認し、類似点・相違点を整理する。一般には難しいと考えられるため、数値実験等を交えてまずは自由群の階数が小さい場合から始める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナの影響で参加を予定していた研究集会がキャンセルとなったため、旅費として使用を予定していた研究費の一部を使用することができなかった。この分は、来年度も基本的には旅費として使う予定ではあるが、しばらくは出張ができないと考えられるため、専門書等を購入するための物品費としても使用する予定である。
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