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2020 年度 実施状況報告書

Stanley-Reisner イデアルの算術階数とその記号的べきの射影次元

研究課題

研究課題/領域番号 18K03244
研究機関岡山大学

研究代表者

寺井 直樹  岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (90259862)

研究分担者 木村 杏子  静岡大学, 理学部, 准教授 (60572633)
吉田 健一  日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
宮崎 誓  熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (90229831)
研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2022-03-31
キーワードStanley-Reisner ideal / second symbolic power / binomial edge ideal / licci
研究実績の概要

本研究の目的は、Stanley-Reisner イデアルのべきについてその可換環論的、ホモロジー代数的性質を考察し、組合せ論的応用を探ることにある。可換環の満たす最も重要な性質としてCohen-Macaulay性がある。したがって、Cohen-Macaulay性を判定する条件を与えることや、そのような環を分類することは極めて意義深い。
本年度発表の結果として、次の二つが挙げられる。
1,4次元以下で余次元3のlevel Stanley-ReisnerイデアルでCohen-Macaulay type が2であるものについてGiancarlo Rinaldo氏、吉田健一氏とともにデータベース作りを行った。そして、それを用いてその中で記号的2乗がCohen-Macaulay性を持つものを分類した。また記号的2乗がCohen-Macaulay性を持つという性質はlicci性を持つという性質と同値で有り、また、付随するねじれ余正規加群がCohen-Macaulay性を持つという性質とも同値であることを示した。
2,イデアルの環論的性質を保つ変形としてlinkage による変形がある。特に完全交差に変形できるものをlicci(linkage class of complete intersection)と呼び、そのイデアルの特徴づけは可換環論における重要な問題であると考えられている。グラフに付随する2項辺イデアルに関してそれがCohen-MacaulayであるときにCastelnuovo-Mumford正則度についての上限評価をグラフの言葉で与えた。それを用いてグラフに付随する2項辺イデアルがlicci性を持つものを分類した。これはViviana Ene氏とGiancarlo Rinaldo氏との共同研究の結果である。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

新型コロナの影響により国内及び国外出張を取りやめざるを得なかった。メールでのやりとりで補ったものの研究の進展がやや遅れたことは否めない。

今後の研究の推進方策

4次元以下で余次元3のlevel Stanley-ReisnerイデアルでCohen-Macaulay type が2であるものについてその中で記号的2乗がCohen-Macaulay性を持つものを分類し、記号的2乗がCohen-Macaulay性を持つことがlicci性を持つことと同値で有り、また、付随するねじれ余正規加群がCohon-Macaulay性を持つという性質とも同値であることを示したのであるが、次元が4という条件ははずせそうなので、一般の次元について成立するかどうかを詳しく調べ、反例がないようであれば、証明を考えていきたい。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナの影響により国内及び国外出張を取りやめざるを得なかった。状況が不確定があるが、次年度は可能であれば国外出張を行い、直接研究討論を行いたい。

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2020 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (2件) (うち国際共著 2件、 査読あり 2件) 学会発表 (2件) (うち国際学会 1件、 招待講演 2件)

  • [国際共同研究] University of Trento(イタリア)

    • 国名
      イタリア
    • 外国機関名
      University of Trento
  • [国際共同研究] Ovidius University(ルーマニア)

    • 国名
      ルーマニア
    • 外国機関名
      Ovidius University
  • [雑誌論文] Licci Level Stanley-Reisner Ideals with Height Three and with Type Two2020

    • 著者名/発表者名
      Rinaldo Giancarlo、Terai Naoki、Yoshida Ken-Ichi
    • 雑誌名

      Combinatorial Structures in Algebra and Geometry(Springer Proceedings in Mathematics & Statistics

      巻: 331 ページ: 123~142

    • DOI

      10.1007/978-3-030-52111-0_10

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Licci binomial edge ideals2020

    • 著者名/発表者名
      Ene Viviana、Rinaldo Giancarlo、Terai Naoki
    • 雑誌名

      Journal of Combinatorial Theory, Series A

      巻: 175 ページ: 105278~105278

    • DOI

      10.1016/j.jcta.2020.105278

    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] Edge-weighted edge ideals of very well-covered graphs2020

    • 著者名/発表者名
      柴田孝祐, 寺井直樹
    • 学会等名
      オンライン研究集会 組合せ論と可換環論
    • 招待講演
  • [学会発表] Cohen-Macaulay property of edge-weighted very well-covered graphs2020

    • 著者名/発表者名
      寺井直樹
    • 学会等名
      One day workshop on commutative algebra and related fields
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2021-12-27  

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