| 研究課題/領域番号 |
18K03248
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| 研究機関 | 琉球大学 |
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研究代表者 |
木本 一史 琉球大学, 理学部, 教授 (10372806)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | アルファ行列式 / 非可換調和振動子 / 帯球関数 / プレシズム / スペクトルゼータ関数 / リース行列式 |
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| 研究実績の概要 |
本課題では表現論的構造のパラメタ変形に由来する問題を対象としている。本年度は、アルファ行列式（関連してリース行列式、帯球関数）と非可換調和振動子（特にスペクトルゼータ関数の特殊値とアペリ型数列）について以下のような研究を行った.
(1) リース行列式、対称群と長方形ヤング図形に対応する部分群の対に対する「帯球関数」、および関連する話題について研究を続けている。帯球関数の値をリース行列式（やアルファ行列式）として表す公式を基礎として、帯球関数の零点を記述することを目指しているが、新たな具体的成果を得るには至っていない。
(2) 非可換調和振動子のスペクトルゼータ関数の特殊値に付随してアペリ型数列と呼んでいる数列の族が定まる。それらは適当に正規化することで有理数列を定めるため、オリジナルのアペリ数列と同様に、それらが満たす合同式という問題を考えることが出来る。これらの正規化アペリ型数列の満たす合同式について、受理されている論文においては定理として証明されたものと（おおよそ偶数点における特殊値に対応するもの）、予想として未解決のまま残されたもの（おおよそ奇数点における特殊値に対応するもの）があった。その未解決だったものについて、p進解析的手法を用いることで証明に成功した。この結果については論文を準備中である。
(3) (i) 量子ラビ模型と呼ばれる（いくつかのパラメタを含む）量子相互作用模型において、スペクトルの退化に関する予想の解決に寄与した論文、および (ii) 群と部分群のペアに対してケーリーグラフの一般化を導入し、特別な場合にそのスペクトルを群指標によって表示する公式を得、またそのようなグラフによってラマヌジャングラフの族を構成する問題を提起した論文、がそれぞれ出版された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
コロナ禍への対応にかまけて全体的には順調と言えるほどの前進はなかったが、その中でも論文をいくつか投稿して受理・出版にこぎ着けることが出来、また大きな結果ではないが論文にまとめられる成果が得られた。
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| 今後の研究の推進方策 |
上述の諸問題について引き続き研究を進める。有限グラフの無限族に対するアルファ行列式の極限挙動の計算例の拡充および一般的定理の模索，Howe 双対性に 基づいた多項式環における具体的計算による最高ウェイトベクトルの記述をさらに一般的な状況で考えること、その手法を帯球関数の計算やAlon-Tarsi予想といった本課題の基本問題へと応用することを念頭に研究を進めたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染拡大のため、予定していた研究集会等への参加がすべてキャンセルとなったため。最終年度ながら残額は次年度に繰り越すこととしているが、基本的には令和2年度の予算配分に準じて進める。
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