| 研究実績の概要 |
捩れ対とは、与えられた三角圏を2つの部分圏の貼り合わせとして表すことである。捩れ対は、特定の性質を抽出する部分圏への分解によって、三角圏のホモロジー代数的分析を容易にする。本研究では特に、捩れ対によって引き起こされる三角圏の対称性を調べている。捩れ対を構成する部分圏は、対になる部分圏の商圏と同値になることが知られている。捩れ対の中でも多重的なものをルコルマン、多重ルコルマンと呼び、多重ルコルマンの中でも回帰的なものを多角形ルコルマンと呼ぶ。これらは、単独の捩れ対よりも高い対称性を呈することが判っている。
本年度は、広義捩れ対についての研究を行った。捻れ対における射の消失条件を少し緩い条件に置き換えたものが広義捻れ対である。三角部分圏の対(U,V)が広義捻れ対になるための必要十分条件は、完全三角で貼り合わせた部分圏U*Vが三角部分圏になることである。このとき(U,V)は、共通部分によるU*Vの商圏における捩れ対と対応するため、広義捩れ対は、部分圏への分解の一つの手段といえる。
三角圏において、三角部分圏を頂点とするハッセ図を描く。(U,V) が広義捩れ対のとき、U∨V=U*Vなので、三角部分圏U,V, U*V, U∧Vを頂点とする四角形がハッセ図に現れる. これをstar squareと呼ぶ。以下を得た。
ハッセ図における四角形がstar squareであるための必要十分条件は、部分四角形がすべてstar sqaureであることである。
圏論的には例えば、exact squareについて同様の結果が古典的であり、上記の結果は、三角部分圏の形式的な扱いが有効であることを示している。
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