| 研究課題/領域番号 |
18K03260
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| 研究機関 | 近畿大学 |
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研究代表者 |
井原 健太郎 近畿大学, 理工学部, 准教授 (00467523)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | multiple L function / multiple zeta values / elliptic modular form |
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| 研究実績の概要 |
本研究では, 多重ゼータ関数の理論を礎にし, 従来の保型形式に付随する L-関数の理論の「多重化」を構築することを目標にしている. その重要な課題として, 保型多重L-関数 の正整数点における特殊値「保型多重L-値」の生成する代数「 周期代数」の構造を決定する問題を考える. 本研究では, 多重ゼータ理論で大きな役割をもつDrinfeldアソシエーターと多重ポリログをモデルにして, 「保型版アソシエーター」と「保型多重ポリログ」を新たに導入することで,「周期代数」の構造を解明しようと考えている.
本年度の研究実績として, 古典的な楕円保型形式のEichler積分の反復積分を導入することで, 従来の多重ポリログの類似と考えられる関数が構成でき, 自然な類似であるいくつかの性質が確認できた. また, ある母関数を導入することで, 「Eichler積分」の反復化と「通常の保型周期積分」の反復化との間に, ある種の変換関係があることが明らかとなり, 両反復化が互いに線形式で記述できる関係であることがわかった. この母関数は可換な多変数べき級数であり, アソシエーターではないものFricke対合からくる保型多重L値の間の関係式を簡潔に記述することができ, 重要な母関数であると思われる.
古典的なベルヌーイ数の拡張である「多重ポリベルヌーイ数」の性質が近年研究されている. 本年度, 近畿大の関谷氏との共同研究として, ベルヌーイ数の計算方法である秋山・谷川アルゴリズムに現れる2重数列の母関数の明示公式を与えた. またその計算手法をベルヌーイ数とは限らない数列にも適用した. この結果は近畿大学理工学総合研究所紀要に掲載予定である. 多重ポリベルヌーイ数は多重ポリログを用いて定義される. 本研究の「保型多重ポリログ」を用いて類似の計算が可能か, という新たな疑問に通じると考えている.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
現在までのところ概ね１年目の研究計画に従って, 研究を進められている. 様々な研究集会へ参加し, 本研究に関連する他の研究者との議論や講演聴講を通して, 最新の研究内容や情報の収集, 関連理論の習得や新たな問題の模索などに役立てることができた. 本研究の課題である, 楕円保型形式のEichler積分の反復積分の導入, またその母関数の持つ性質の解明などの進展が得られた. その成果発表の場として, 本研究及びこれまでの研究結果を紹介する講演発表を行った. 多重保型L関数の研究の経緯から初めて, 最近の進展状況や今後の課題を専門家の前で報告することができた.
また, ベルヌーイ数の計算アルゴリズムに関連する2重数列の母関数の明示計算に成功した. この研究では, 関連する研究者を複数招き, 研究結果の内容についての議論を長時間行った. その結果, 我々の研究の問題点や既存の結果との関連性, および今後の展開についての有意義な議論が行えた. この結果は近々, 近畿大学理工学総合研究所紀要へ掲載される予定である. この方向の研究は「保型多重ポリログ」への拡張を見据えた研究であり, 今後も継続する予定である.
また本研究に関連する研究者の集う研究集会を開催した. 研究集会を通して, 本研究に関連する「有限多重ゼータ値」や多重ゼータ値の「積分級数関係式」, 「多重ポリ-ベルヌーイ多項式」の研究者との研究討論を行った. 本研究の研究計画にもあるように, 保型ポリログの調査のために挑戦的な手法として, 「有限多重ゼータ値」の手法を用いてみたいと考えている. 保型多重ゼータ値の有限版を導入するために, 有意義な議論を行えた.
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| 今後の研究の推進方策 |
一つ目の研究として, 「重さ2」でカスプ形式の空間の次元が大きくならないレベルNの合同部分群に対し, KZ-微分方程式の対応物を構成したいと考えている. まずは, そしてレベルの合同部分群の構造から導かれるアソシエーターの関係式を考察したい. 計画書にもあるように「重さ2」の小さいレベルNの状況を最初に調べ, 以前に計算した多重L-値の具体的数値実験との結果を比較照合することを目標としている.
二つ目の研究として, 保型多重L-値の有限版を導入しその基本性質を考察する予定である. このテーマについては最初にレべル1のRamanujanデルタ関数に付随する保型多重L-値をサンプルとして考察したいと考えている. 以前の研究結果であるRamanujanデルタ関数に付随する保型2重L-値の関係式に関する結果なども分析し直し, 有限多重ゼータの保型版が考察可能かを見定めたい. フーリエ係数を有限多重ゼータと視点でみた研究は, 先には無いと思われるのでまずは様々なデータ収集が必要になると考えられる. 計算機を用いた数値実験なども踏まえた研究を行う予定である.
三つ目の研究として, [現在までの進捗状況]でも述べた, ベルヌーイ数の計算アルゴリズムに関連する2重数列の母関数に関する研究を行う. これまでの研究で, 当2重数列の母関数がある偏微分方程式に関連していることが明らかになってきた. この研究では, ベルヌーイ数の枠を超え, 偏微分方程式の解法という視点でベルヌーイ数の拡張を導入し, その計算アルゴリズムの一般化を考察したい. この研究は, 共同研究を予定している. 以上の研究を中心に実施し, 成果の出たものについて講演発表と論文執筆を行う計画である.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
平成３０年度内に於いて, 本研究に関連する研究者を招いての講演会, 研究討論会を計画し, そのための旅費と謝金として当該予算を確保していた. 研究討論会を開催したが, 参加者自身の研究費で旅費を支出したため, 当該予算の執行ができなかった. 平成３１年度に開催予定の研究討論会の旅費, 謝金に使用する計画である.
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