| 研究課題/領域番号 |
18K03267
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
楯 辰哉 東北大学, 理学研究科, 教授 (00317299)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | １次元量子ウォーク / 半古典極限 / 極限分布 / 初期状態 |
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| 研究実績の概要 |
周期的ユニタリ推移作用素の固有値や連続スペクトルの絶対連続性と局在性に関する論文が受理された．これにより，通常の定数コインをもつ量子ウォークの局在性を固有値の存在・不存在で判定することができる．また，この論文においては一般の結晶格子上の周期的ユニタリ推移作用素も含む形で議論してあるため，従来よりも広い範囲に適用できる結果となった．かなり一般の状況で議論した論文であったので，今後はより具体化する方向で研究を進めるべきであることは，すでに本研究課題の目的にも記載してある．本年度そのような具体的なモデルに対する研究は，数年来続けている１次元の定数コイン量子ウォークに対する半古典解析である．半古典解析とは半古典極限，つまりプランク定数に対応したパラメータをゼロにする極限下での解析を意味する．プランク定数は，いまの場合，定数コインが２次特殊ユニタリ行列であることに着目し，特殊ユニタリ群の表現の最高ウェイト（スピンパラメータ）の逆数に対応しているため，行列のサイズを大きくする極限ということになる．このような状況の解析には推移確率の積分表示が必要となるが，それは２次元球面上の積分として表示することが可能であることが数年前に得られている．この積分の取り扱い方法についても数年前までの研究である程度確立していた。問題は極限分布に正規分布を導出するための初期条件の選び方であった。この状況下では初期条件がプランク定数に依存するが、さらに極限分布が初期条件に大きく依存する可能性が高いことが数年前に観測されていて困難であった。昨年度までの研究で、ある程度標準的な初期条件の設定方法に目処はつけていた。今年度実際に標準的と思われる初期条件で解析を開始したものの、残念ながらまだ決定的な結果は得られていない。しばらくこの方向性で研究する予定ではあるが、設定を少し修正する必要性も込めて検討したい。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
当初の計画からは多少研究が遅れている。当該年度に所属機関での運営業務が激化したことが研究が多少遅れている原因の一つであった。また、半古典極限の問題を現在考察中であるが、現時点ではある特殊なモデルを作成して、初期状態をうまく選んで正規分布が極限分布として現れる状況を作り上げるという方向性の研究を行っているが、2019年度の研究により、現在考えているモデルの設定自身を若干修正することも含めて今後検討していく必要があるとの知見が得られている。このような状況は当初は考えられなかったことであり、今後詳細な検討が必要であろうと思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
当初予定していた、特異連続スペクトルを持つユニタリ推移作用素の定義する量子ウォークの極限分布の解析や一般次元の量子ウォークの極限分布の先見的導出のための研究が多少遅れてしまっている。2020年度に半古典極限の解析を集中的に行うと同時に、上記二つの研究対象だけでなく、より視野を広げた形での研究を行うことで、研究進度の遅れと半古典解析上の困難さを補うことを考えている。具体的には例えばGoldberg-Coxeter細分と呼ばれる3正則グラフの細分方法が知られているが、その細分によりSzegedy型の量子ウォークがどのように振る舞うかという問題は興味深く、検討していくつもりである。半古典解析の問題は非常に興味深く、かつかなりな程度解析を進めているため、なんらかの結果は出るものと思っているが、弱い結果であったとしても論文にまとめるなどの方針も視野に入れる予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当該年度は所属機関における運営業務の激化により出張の制約が大きい状況であった。次年度も新型コロナウイルス感染拡大防止の観点から出張の制約が増大している。しかし一方で遠距離で使用する機材やオンライン会議システムの導入を考えたい。また今年度掲載受理された論文についてはオープンアクセス契約資金を別の研究費から捻出したが、次年度からは当該研究費から負担させていただくなどの対応を検討する。
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