| 研究課題/領域番号 |
18K03269
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
二木 昌宏 千葉大学, 大学院理学研究院, 特任助教 (40583927)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | ミラー対称性 / ホモロジー的ミラー対称性 / 深谷圏 / 行列分解 / ファノ多様体 / トーリック多様体 / ランダウ・ギンツブルク模型 |
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| 研究実績の概要 |
2020年度は前年度を一部引き継ぎつつ研究を行った。
まずLandau-Ginzburg模型の同変ミラー対称性について引き続き三田史彦氏（京都大学）と共同し、A側とB側を入れ替えトーリック多様体側をA側、LG模型側をB側とした場合を研究し、S^1作用付の1次元複素射影空間と複素平面の場合にホモロジー的ミラー対称性（HMS）を定式化し証明した。具体的には、前者については同変フレアーA無限大代数を定義・計算し、また対応するロガリスミックLandau-Ginzburg模型の行列分解の圏を定義・計算し同値を証明した。この形の定義は我々が初めてであるが、今後広く利用される定式化だと考えている。本研究は未発表であるが、2021年度中に論文に纏める予定である。
また梶浦宏成氏（千葉大学）と共同し、トーリック多様体のStrominger-Yau-Zaslowファイブレーション描像によるHMSについて研究した。具体的にはトーリック多様体からトーリック・ポリトープへの運動量写像を考え、ポリトープの整アフィン構造を介してSYZファイブレーションを構成する。ミラー（LG模型）側についてはポリトープのモース・ホモトピーを、トーリック多様体側については直線束のDG圏を考える。本研究はKontsevich-Soibelmanによる閉多様体上の非特異双対トーラスファイブレーションのHMSの研究を下敷きにしており、ファノの変種についてはLeung-Yau-Zaslow、Leung、Abouzaid、Fang、Chanらの先行研究があるが、我々はSYZ変換をより具体的に記述する事を目的とした。その記述の産物として複素射影空間の場合とヒルツェブルフ曲面F_1の場合に、モース・ホモトピーと直線束の導来圏の三角同値の形でHMSを証明し、各々プレプリントに纏めた。前者は査読論文として出版し、後者は投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
2020年度は上述の研究実績の概要に述べた幾つかの結果を得た点で想定以上の結果を得た年であった。特に梶浦氏との研究は、本研究課題に当初想定しなかった広がりを与えるものであり、論文に纏められた事も成果であった。一方で三田史彦氏との共同研究は結果自体はしばらく前から得られているが、論文執筆がやや遅れている。これについても、2021年度中に纏められる予定である。
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| 今後の研究の推進方策 |
まず最初に、トーリック多様体の同変ホモロジー的ミラー対称性について、現在得られている結果を論文に纏める事を最優先する。
それを終えた後には、次の計画に従って進める。
まず三田氏と行っているトーリック多様体の同変ホモロジー的ミラー対称性については、仮想基本類の手法が必要となる高次元の場合を引き続き研究する。必要な枠組みはすべて先行研究（主として深谷・Oh・太田・小野）およびこれまでの未公表の研究から分かっているが、定式化して書き下すのはそれなりに重い作業となる見通しである。
一方で梶浦氏と行ったSYZ描像によるトーリック多様体のHMSの研究については、幾つか分析の不十分な点が残っている：具体的にはポリトープの整アフィン構造と付随するモース・ホモトピーの定義は、複素射影空間やF_1の場合を超えた一般の場合を完全に書き下していない。これはLagrange切断のなす深谷・Oh圏と同値になるべきものであり、その証明を目標に引き続き研究を行う。また深谷・Seidel圏との関係についても研究を行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍のため2020年度は出張が一切不可能となり、2019年度末の海外出張中止により発生した繰越と合わせ、大幅な次年度使用額が生じる事となった。
2021年度の後半には研究出張を再開できると期待しており、また2019年度末に延期となった海外出張（研究集会参加）も同年度中に行う予定である。その一方でオンラインでディスカッション等をする機会が大幅に増えた事から、必要な機器を追加購入する。繰越金はこれらの支出に充てる予定である。
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