| 研究実績の概要 |
与えられた２つの有限生成な無限コクセター群が群として同型か否かを判定する無限コクセター群の同型問題は重要で未解決な問題である。先行研究として, N.Brady-J.P.McCammond-B.Muhlherr-W.D.Neumann(2002), Howlett-Muhlherr(2004), Marquis-Muhlherr(2008), および Caprace-Przytycki(2010) による研究がある。これらの先行研究により, 現在は, 与えられたコクセター系に対してangle-compatibleなコクセター系がすべて求められるならば, 無限Coxeter群の同型問題は解決するところまで解明されている。本研究では, この問題に対して, [共役な集合に関するある条件]の下で, コクセター系をツイストがないパーツに分解して考えるアプローチにより, angle-compatibleなコクセター系が有限のツイストで移りあえる必要十分条件に関する研究を行っている。今年度は昨年度得られた結果においてより条件を精査し深めた。
また, 有限単純グラフの再構成可能予想はKelly-Ulam予想ともよばれ, グラフ理論における非常に有名でかつ重要な古くからある未解決問題のひとつである。本研究では, 当初は有限単純グラフに対し直角コクセター群を対応させるアイデアでこの問題に取り組んでいたが, 一方で, 2種類の矢印を持つ有向グラフとそのcycleを用いるアプローチでのアイデアを温めていた。今年度, この有向グラフを用いるアイデアにより一定の研究成果が得られた。再構成可能でない可能性のある有限単純グラフはある種の構造を持つことを示した。
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| 今後の研究の推進方策 |
(1) 無限コクセター群の同型問題について研究成果が得られているが, その論文はプレプリントの状態にある。内容や条件の精査をおこない, 論文をより完全な形に仕上げるとともに, 可能ならば研究を更に進めたい。
(2) 有限単純グラフの再構成可能問題は古くからある有名で重要な未解決問題である。今回, 有向グラフを対応させて考える手法により一定の研究成果が得られた。可能ならば研究を更に進展させたい。
(3) CAT(0)空間に幾何学的に作用するある形の群の理想境界の位相は非可算無限のバリエーションを持つのではないかという予想がある。この予想に取り組み, CAT(0)群の理想境界の位相の研究に寄与したい。
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