| 研究実績の概要 |
Ding-Iohara-Miki 代数（gl_1型の量子トロイダル代数）の MacMahon 表現の表現空間は平面分割でラベルされる基底をもち,対応する量子アフィン代数の表現論における Evaluation 加群と同様の役割を果たす. MacMahon 表現と自由場表現の絡み作用素の真空期待値 （相関関数）が満たす KZ 型の差分方程式を導いた.この際,絡み作用素のスペクトル変数のシフトを生成する作用素が普遍 R 行列から導かれることが鍵となっている．また KZ 型の差分方程式に現れる R 行列が”対角的”であるという性質から,解は自由場の相関関数に対する Wick の定理と同様に２点関数の積で書くことができる．この２点関数はインスタントン分配関数の構成要素である Nekrasov 因子を拡張したものとなっているが,その物理的意味については,まだよく分かっていない.
量子アフィン代数の場合は,準 Hopf ツイストという余積構造の捻りによって,楕円型の量子群を構成できることが知られている. Ding-Iohara-Miki 代数について同様に準 Hopf ツイストを行って楕円型変形を考え,対応する絡み作用素を構成した.準 Hopf ツイストを行った後で KZ 型の差分方程式を導くためには真空期待値の代わりに絡み作用素の合成のトレースを考えなければならない.また差分方程式の導出にあたっては,トレースの巡回置換対称性を利用する.トレースが満たすKZ 型の差分方程式の解として６次元超対称ゲージ理論の分配関数の構成要素である楕円型 Nekrasov 因子が得られることが確かめられた.さらに準 Hopf ツイストを用いて楕円型の Virasoro 代数や W 代数の構成を試みたが,これについては残念ながら期待される結果は得られなかった.
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