| 研究課題/領域番号 |
18K03279
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| 研究機関 | 岡山大学 |
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研究代表者 |
島川 和久 岡山大学, 自然科学研究科, 特命教授 (70109081)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 微分空間 / モデル圏 / シュワルツ超関数 / コロンボー代数 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は微分空間の圏のモデル構造および微分空間上の一般関数の構成に関する研究を展開し，以下に述べる研究成果を得た。
(1) 微分空間の圏においても滑らかな写像のみを用いてホモトピー集合が定義でき，位相空間と同様に弱ホモトピー同値の概念を導入することが可能である。これを基に，微分空間の圏も位相空間の圏におけるキレン・モデル構造に類似するモデル構造を導入することができるが，本年度の研究により，両者が本質的に同一のものである（すなわち， キレン同値である）ことを示すことに成功した。
(2) 位相空間におけるCW複体の類似である滑らかなCW複体の概念を整備し，滑らかなCW複体間の任意の連続写像は滑らかな写像によりホモトピカルに近似できること，および，滑らかなCW複体間の写像がホモトピー同値写像である必要十分条件は，それが弱ホモトピー同値写像であることを示した。これにより，滑らかなCW複体のホモトピー群は位相空間としてのホモトピー群に一致し，滑らかなCW複体間の写像に関する以下の条件は互いに同値となる。(i) ホモトピー同値，(ii) 弱ホモトピー同値，(iii) 連続写像として弱ホモトピー同値，(iv) 連続写像としてホモトピー同値。
(3) 可微分関数の一般化であるシュワルツ超関数は，解析学を物理学や工学分野に応用する上で必要不可欠な道具立てであるが，超関数の積が一般的には構成できないという大きな難点を抱えている。この欠陥を解消する一つの手段として，コロンボー代数（および，それから派生した各種の一般関数の代数）は極めて有望である。我々は，コロンボーの構成法とトドロフ・ヴェルナエヴェによる方法を併用して，微分空間の圏を部分圏として含む圏を構成し，それが完備かつ余完備なデカルト圏であること，および，微分空間上の関数の集合がコロンボー代数に類似する諸性質を有することを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
微分空間の圏のモデル構造の基礎理論については，本年度の研究でほぼ解決され，今後の研究の焦点は，ホモトピー論の幾何学的応用に向かうと思われる。また，微分空間上の一般関数に関する研究成果によって，微分空間上のカレント代数の構成に向けた道筋が明らかになり，本研究計画の主要テーマである微分空間の枠組みにおけるホモトピー論的手法と解析的手法の融合に向けて大きく前進したものと評価している。
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| 今後の研究の推進方策 |
代数的位相幾何学で培われたホモトピー論の種々の概念および手法と，関数解析学や微分幾何学で重要な役割を担う微分形式およびその拡張概念であるカレントの理論を微分空間の枠組みにおいて融合し，発展させる新たな研究手法を確立し，その幾何学的応用を探求する。特に，軌道体(オービフォールド)や階層体(ストラティフォールド)などの特異点を許す多様体の一般化や，微分空間の概念が極めて有効に機能する研究対象である葉層構造や接触構造などの幾何学的構造の研究において，ホモトピー論が解析的な研究手法と相俟って，どのような成果をもたらし得るか実験的な検証を行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
計画した出張（依頼出張を含む）の旅費実額が当初の予定額を3,150円下回った結果，次年度使用額が生じたものである。これについては，翌年度分として請求した助成金の内の旅費に加算して使用したいと考えている。
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