| 研究実績の概要 |
本年度は, symphonic map に関する Bochner formula についての研究を行った. 具体的には, Symphonic energy density を含むいくつかのテンソル量に関して計算を行った. この計算の中で, symphonic operator の構造の複雑さからくる項が現れ, まだ良い評価式が得られていない. 予想通りの形でこの公式が成り立つことがわかれば, 一般的な paritial regularity の結果を導くことができる.
また, L^p-version である p-symphonic map についても研究を進めた. p が 4 以上の実数の場合に, p-symphonic operator に対して, ある種の monotonicity inequality が成り立つことを示した. これにより, 球面への m-symphonic maps の弱解の Holder 連続性を導くことができる. ここで m は, symphonic map の定義域の多様体の次元である.
さらに, 特異点をもつ「球面への symphonic map」の具体例を構成した. この例は同時に, harmonic map にもなっており, target となる球面を高次元にすることにより, これまで知られていた特異性 x/|x| とは異なる特異点をもつ例が与えられた. この例を考慮すると, 「球面への写像に対する解空間の構造がどのようなものになっているか？」という自然な疑問が出てくる. 本研究計画では予定されていないが, 余裕があれば, この方向の研究も行いたいと思っている.
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
C-stationary maps に関する研究は, やや遅れ気味であるが, symphonic maps については, 研究が予定以上に進んでいるところがあり, 全体としては, 研究計画はおおむね順調に進展している.
|
| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究は, これまで通り, 研究計画通りに進めていく予定である. C-stationary maps に関しては, 新しいアイデアが必要となるため, 時間があれば, 多様体上の変分問題の研究者や, 幾何解析の研究者と, さらなる情報交換を行って研究を進めていきたいと思っている.
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
日程調整がうまくいかなかったために, 当初予定していた共同研究者との研究打ち合わせが, 遂行されていないため, 次年度使用額が生じた. これは, 次年度の旅費として使用予定である. 同時に, 「新型コロナウイルス」の影響で出張ができない場合も考慮し, 遠隔で研究打ち合わせができるような態勢を構築するために必要な機材を購入することも予定している.
|
