| 研究実績の概要 |
非球形リーマン多様体X/Γとは可縮リーマン多様体X上に離散群Γが等長変換として固有不連続に作用しているときの商空間である. 今年度はXに大きな対称性をもつリー群G-作用が存在するときにコンパクト非球形リーマン多様体X/Γの微分多様体構造を調べた. Gを等長リー群Isom(X)の連結閉部分群とすると, 自然にΓは(有限指数を除いて) Gに含まれている. さらにGは可解ラディカル(極大連結正規可解部分群) Rを持つとする. 最初に商$Y=X/Rは{\bf 可縮なリーマン多様体}になることを示した.従って, 自然なリーマン沈めこみ: R → X→ Yとそれに随伴した準同型φ: Isom(X) → Isom(Y)が存在し,Δ=ker φ∩Γ,φ(Γ)=Qとおけば群拡大1→Δ→Γ→ Q→１が誘導され, Qは余コンパクト離散群となりYもdividibleである.Y=X1とおきIsom(X1)の連結群が再び可解ラディカルを持つならば,この「同変沈めこみ」の構成が再び可能で, Isom(Xk)の連結群のラディカルが自明になるまで繰り返される. 結果として軌道束の繰り返し:X/Γ→ X1/Γ1 → … → Xk/Γk が得られる.この新しいタワーの概念はBottタワーにちなみ,infra-可解タワー呼んでいる.これ自身X/Γの可微分剛性に応用があることをみた. この結果を利用して当初の目的である, 佐々木構造,ケーラー構造を持つ局所等質非球形多様体 Γ/ G/Hの構造決定に成功した.具体的には(1)Xのケーラー商Wはユニタリー空間Ckと対称境界領域Dとの積となる.(2) X上に 反エルミート対合τが存在し,Isom(G/H)はPsh(G/H)と<τ>の半直積となる.(3)連結成分Psh(G/H)はハイゼンバーク冪零群とU(k)の半直積に半単純リー群Sを備えたLevi分解をもつ.
|
| 今後の研究の推進方策 |
上記の結果,X/Γから可解ファイバー束の繰り返しが得られる.その結果可解群が自明になり, 最後にはIsom(Y)が準単純リー群Sになる. 可解群の作用とは違い、その準単純リー群Sが可縮リーマン多様体上に作用することは、等質作用とは異なり簡単ではない。そこで昨年の暮れに半単純リー群Sの作用をregular-作用と新たに導入し,divisibleな離散群をもつ可縮リーマン多様体上Xのregular-作用を考えることに至った.予想としてIsom(X)の離散部分群ΓでX/Γがコンパクトならば, その有限被覆はΔ/S/K とX/Ωとのワープ(warped)積になる. つまりファイバーはコンパクト局所対称空間で底空間X/Ωはコンパクト軌道体である.
|
