| 研究課題/領域番号 |
18K03285
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| 研究機関 | 上智大学 |
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研究代表者 |
辻 元 上智大学, 理工学部, 教授 (30172000)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | ケーラー多様体 / 多重劣調和関数 / 標準測度 / 葉層構造 / 小平次元 / 多重種数 / 代数的ファイバー空間 / ケーラー・アインシュタイン計量 |
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| 研究実績の概要 |
主目的であるコンパクト・ケーラー多様体のケーラー族における多重種数の変形不変性については、進展は部分的なものに留まっています。得られた結果は今のところ前空間の相対標準測が擬正という条件下で不変測度を構成しその対数多重劣調和性について証明ができていますがファイバーの不変測度との関係がはっきりと分かっていないので、今のところ多重種数の変形不変性については、全空間の相対標準束が擬正という強い条件の下であっても未だ証明できていません。しかし、全空間にケーラー形式が存在するので、その随伴類と相対標準束を結ぶホモトピーについて研究を進めたいと思っています。
しかし、同じような方向ですが、小平次元の優加法性については進展がありませした。J.Y. Caoと代数的ファイバー空間における小平次元の優加法性を主張する飯高予想について共同研究を行いました。この予想については代表者とJ. Song- G.Tianが独立に考案した標準測度(canonical measure)の代数的ファイバー空間に於ける対数多重列調和性が既に代表者により証明されており、これを使えば飯高予想に迫れるのではないかと考えていました。
問題はこの標準測度の生成するモンジュ-アンペール葉層構造の葉が底空間において閉集合となることを証明することです。もしこれが成り立てば飯高予想が全面的に解決することになります。今回の研究結果は、代数的ファイバー空間の全空間の小平次元が0以上という付加条件の下で飯高予想を示すことができた。しかし、一般の場合はまだ証明できていません。一般の場合を示すことが当面の問題です。また、部分的な結果として小平次元が0の台数多様体についえアバンダンス予想が成立すれば、飯高予想は示せることが分かりました。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
多重種数の変形不変性については十分な進展があったとは言い難い状況ですが、小平次元の優加法性については、様々な知見が得られており、かなりの進展がありました。
特に小平次元の優加法性については、標準測度の生成する葉層構造について周期写像との関係から研究することが有望なことが分かってきました。実際、トレリ型の定理が成り立つ場合には証明ができることが分かりました。一般の場合の優加法性の証明については、複素葉層構造のさらなる解析が必要になるので、まだ証明できていませんが道具は揃いつつあると感じています。
多重種数の変形不変性については、全空間の改変（厚み付け）という方向から相対多重標準系の直像の半正値性は証明できました。これは既に知られている結果ではありますが、実際にに正値性を与える軽量を構成したことは意味のある成果ではないかと思います。しかしながらこの構成から最大の課題は正閉カレントの拡張問題にあるということも分かった訳でこの先どういう手法が可能なのか考えなくてはなりません。具体的には、適当なモンジュ・アンペール方程式を解いて拡張するという方法がすぐに思いつくのですが、実際に実行可能なのかというと分かりません。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究の推進は6月に台北で開催されるシンポジウムに参加し、同時に参加するJ.Y.CaoやM. Paunらと討論を行って研究を推進したいと思います。特に小平次元の優加法性についてJ.Y.Caoと共同研究をさらに推進するつもりです。
7月中旬に開催される多変数関数論葉山シンポジウムに参加し、Mihai Paun, Jian Songらと研究討論を行いたいと考えています。また、11月の複素幾何シンポジウムにシドニー大学のTaji氏を推薦し招聘することが決まったので、Taji氏を東京に呼んで共同研究を始めたいと思っています。12月の多変数関数論冬セミナーにも参加する予定です。
また、来年2月から3月に掛けて、パリまたはバイロイトに出張しJ.Y.CaoまたはM. Paunらと共同研究を進めたいと思っています。もしくはMihai Paunがシドニーに滞在することから、TajiとPaunとの共同研究を行うことも考えられます。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
この47278円の前年度からの繰越金は端数ですので、特に何か意味があるものではありません。旅費などに使いたいと考えています。
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