| 研究課題/領域番号 |
18K03286
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
吉岡 朗 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 教授 (40200935)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 変形量子化 / 指数関数の量子変形 / 変形量子化関数 |
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| 研究実績の概要 |
変形量子化代数における＊積の積分表示が得られた。これにより、＊積に関する精密な評価を行うことが出来るようになり、変形量子化代数の積の収束に関する詳しい情報が得られた。この方法を用いて詳細に評価を行うことにより、変形量子化代数における指数関数を、2次多項式の指数関数から2次多項式の増大度をもつ広いクラスで考えることの可能性が大いに期待される。
実領域で有効なフーリェ変換を用いた積分変換が擬微分作用素、フーリェ積分作用素などにおいて重要な働きをしていたことは周知であるが、複素領域で収束する変形量子化を考える場合、これに対応する積分表示はいままで使われていなかった。上に述べた今回の研究によりえられた積分表示は、従来の研究において、実数空間の関数のなすある空間を複素空間上のある関数の集合へと変換する積分作用の理論において使用されていたものを用いて構成された。
今までに変形量子化の収束に関してわかっていたことは、あるセミノルム系による位相で収束する関数のクラスが存在することであった。これはべき級数の評価を繰り返し行うことで得られたもので、結果としてロスの多い粗い評価といえるが、今回の積分表示を用いて方法では、直接に評価を行うことが出来、プロセスを短縮することにより評価の誤差を小さくすることが可能になる。これにより、＊積の収束性に関して今まで出来なかった部分の解析が可能になった。
これを用いて、変形量子化代数において２次多項式の指数関数の積が収束しそれが再び2次多項式の指数関数となることの直接的な証明が可能になり、さらには2次多項式にある増大度をもったポテンシャル関数がついたハミルトン関数に対しても変形量子化代数における指数関数を構成することが可能になると期待できる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
関数の非可換化として、今までに三角関数、ガンマー関数、ベータ関数などを構成した。今年度は、収束性のよいクンマー関数の１変数の場合の変形を構成できた。この構成法は明示的なものであり、さらに多変数の場合に拡張できる。 変形量子化代数の中で具体的な関数の変形を構成するのが本研究の目的の一つであるが、この意味で順調に進んでいる。また、＊積の有効な積分表示を得たことにより、変形量子化代数における関数の定性的な性質を細かく調べることが可能になる。特に、本研究計画の目的の一つである特異点のまわりでの指数関数の挙動を調べることに関してさらに前進しているといえる。
幾何的量子化を利用して、収束する複素領域での変形量子化代数の作用素表現の基本的な枠組みがほぼ構成できた。これを、具体的な系に、例えばMIC-ケプラー問題のハミルトン関数など、に適用することが出来る。この枠組みでは、作用素の固有値問題との直接的な関係を見ることが可能になり具体的な系への応用という目的に対して大きな前進といえる。以上のように、計画に従って着実に進展しているといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今までは、収束性の判定が難しために直接的な構成ではなく、微分方程式を解くことにより＊指数関数を与えていたが、2019年度の研究で得られた＊積の積分表示を用いて直接的な構成を調べる。この積分表示により、今まで困難であった様々な幾何的な性質の解析が可能になることが期待できる。また、2019年度に得られたクンマー関数の変形を多変数に拡張すること、および、類似の特殊関数への拡張を引き続き研究し、＊積による関数の変形の具体例を増やしていく。
今年度えられた、収束する変形量子化代数の幾何的量子化を用いた表現の研究を引き続き行う。表現できる関数のクラスをできるだけ大きくする枠組みを設定し、複素領域における変形量子化代数の研究手段の構築を目指した研究も始める。さらに、よく知られているMIC‐ケプラー問題などについて、固有関数を＊積の関数から構成する研究を進め、これにより計算法などを具体化させて、他の具体的な系の解析を試みる。この具体例と上で述べた表現空間との比較は興味深い。これらの個々の研究結果により、着実に変形量子化代数に関する知見を得ていく方針である。
しばらくは、人の移動にある程度の制約があり、国内のまた海外の研究者たちとの研究会や、相互に行き来して行う共同研究などは実施が難しい状況が続くものと思われる。このような直接交流が再び可能になるまで、電子メール等のインターネットを利用した交流を通じて共同の研究を推進し、着実に結果を積み上げ、再開されるときに備えていく方針である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
国際共同研究のための招聘、渡航および国際研究会における論文集の発行が1月からの移動制限等により遅れたことなどによる。移動制限等の活動の制約がある期間は、インターネット等により共同研究、国際研究会を行う予定である。活動の制約が解除され次第、計画を推進する。
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