| 研究課題/領域番号 |
18K03286
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
吉岡 朗 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 教授 (40200935)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 変形量子化 / star積 / Kummer関数 / Mittag-Leffler関数 |
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| 研究実績の概要 |
n次元複素空間C^nの整関数がある指数増大度を持つときにstar積は収束し、関数のある線形位相に関し連続になる。star積は複素行列に依存して定まり、複素行列の歪対称部分が等しい場合には、同型になる。この同型対応をあたえる作用素もまたこの線形位相に関して連続となる。従来の方法はべき級数の係数から位相を与えるセミノルムの評価をする間接的なものであった。本研究計画においてはBergmannの積分表示を用いてstar積とこの同型対応の連続性を直接に関数のセミノルムの大きさを調べることにより行っている。今年度は特に、積および同型対応の複素行列に対する依存性が明示的になり、複素行列のノルムを用いてより精密な評価式を得た。
一方、本研究計画では収束するstar積の応用として関数のstar積による変形を調べている。変形のパラメータが0に移行すると通常の積に収束することからstar積を用いて級数を書き直せばそれが関数の変形を与えることになる。このような考えた方で変形を構成するのである。今年度はstar積が可換になるn=1の場合を主に調べた。まず、昨年度に得たKummer関数の変形に対し積分表示をえることができた。これは結果として従来のKummer関数の積分表示において現れる指数関数をstar積の指数関数に置き換えることに帰着することがわかった。また、通常Kummer関数の微分方程式をstar積により変形し変形Kummer関数のみたす微分方程式を調べその具体系を得たと思われる。この方法は他の変形関数に対しても適用可能である。この導出仮定を厳密にすること当面の課題となる。Kummer関数の変形と同様の方法でMittag-Leffler関数の変形を得た。Kummer関数と同様な方法で積分表示、その微分方程式をもとめること、そして他の重要な関数に対しても同様に試みること当面の課題となる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
海外の共同研究者と連携してstar積代数の表現について研究を進めることを計画していたが、互いに行き来することが可能でなくなり直接にアイデアを出し合い発展させることがしずらい状況になり、この部分での計画遂行が遅れている。また、国際研究会を集会形式で開催することができず、間接的にWebで研究発表・論文発表の形式の研究会を行った。これらをまとめる作業も、途中段階で作業する諸機関でのそれぞれの遅滞が重なり遅れている。国内での情報交換の機会が制限されてこの部分での遂行が遅れている。そのほか、所属機関における入構制限などがあり作業全般において遅れが発生し、それに連動して本研究計画の遂行にやや支障が発生し、同様の理由で本研究に使えるエフォートの割合が下がることにつながり作業の進行が遅れ、本研究計画における他の部分においてもやや遅れが発生している。半面、このような状況にあっても可能な作業、研究内容など、研究計画の遂行に関し練り直した結果、遅れた部分の代替的補完および自分のアイデアに向き合い基礎的な部分の新たな発見、新たな課題の創出などがあり全体に計画に対してプラスの面もあった。このような理由から計画を完成させるための進捗状況は遅れているものの、致命的なものではない。これが（３）のやや遅れている、を選んだ理由である。
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| 今後の研究の推進方策 |
2021年度は状況が改善されることを前提に、2020年度に制約の多かった国際共同研究を加速して引き続き行う。開催が休止されていた国際研究集会も年度の後半からはいくつかが再開されるであろうことを念頭に得られた成果を研究集会で発表することも準備していく。2020年度にWeb上での集会に変更して行った研究集会の論文集の取りまとめを推進する。
2020年度の研究で得られたstar積の評価の改良版を適用し積の同型対応を複素行列のノルムが小さい場合に詳しく調べる。特に特異性が現れる原因が明らかになるように工夫する。また、複素行列のノルムが小さいときにstar積指数関数の展開式の評価を調べる。2019年度に得られたクンマー関数および2020年度に得られたMittag-Leffler関数の変形を引き続き研究する。また、star積による関数の変形の具体例を増やしていく。さらに得られたstar変形関数の微分方程式ともとの関数の微分方程式の関係、変形関数の微分方程式は変形関数を解として持つことが予想されるがこれを確かめる。また、階数が一つ増えることから従来の関数の変形に加えて新たな関数が解として加わるはずであるがそれは何であるのかを調べる。同様に従来の関数の積分表示のstar変形の積分表示についても新しい知見をまとめていく。また、よく知られている具体的な系に対して変形量子化を行い既知の量子化との比較研究も続ける。今までの研究成果が具体的な量子化の問題などに応用されるようになってきた。これらの研究と現在行っている研究計画の研究との関連を確認する。
これらの個々の研究結果により、着実に変形量子化代数に関する知見を得ていくと同時にさまざまな幾何的な性質の解析を行い、本研究計画を総合的にまとめていく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2020年度、コロナウイススの世界的な蔓延により、当初予定していた、国際共同研究打ち合わせ・国際研究集会参加および発表（招待講演）などによる研究出張がすべてキャンセイルになったこと、および、国内においても移動が制限され、研究打ち合わせ・研究発表がこれもすべてキャンセルになったため差額が生じた。2021年度は、後半から研究交流が再開される予定である。感染状況の改善が前提であるが、2020年度に延期になっていた国際研究集会で研究発表（招待講演）を行う方向で動いている。2020年度はskype, 電子メールなどで連絡を取り合い、少しずつ進めていた国際共同研究も実質化ができると思われ、そこで、双方に海外出張を行い研究打ち合わせをする。また、今後も2020年度に始まったWebを通しての研究打ち合わせ等が継続的に行われる予定でもあり、この方法による研究打ち合わせ、2020年度にWeb方式で開催した国際研究集会の論文集の印刷などに予算を使う予定である。また、これらの環境に合わせて研究連絡用の環境の構築にも予算を使う予定である。
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