2022 年度研究成果報告書

レンズ空間内の結び目に関する補空間予想の研究

研究課題

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研究課題/領域番号	18K03287
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
審査区分	小区分11020:幾何学関連
研究機関	日本大学
研究代表者	市原一裕日本大学, 文理学部, 教授 (00388357)
研究期間 (年度)	2018-04-01 – 2023-03-31
キーワード	結び目 / レンズ空間 / デーン手術
研究成果の概要	本研究の主な研究課題は，最も基本的な3次元多様体である3次元球面を拡張するクラスであるレンズ空間の中の結び目に焦点を当て，結び目理論研究の基礎となる問題「結び目補空間問題：同相な補空間をもつ結び目はいつ同値となるか」にアプローチすることであった。特に，先行研究で重要な役割を果たしている，結び目に沿った同値でない矯飾的手術(同相な多様体対を生成するデーン手術)の研究に焦点を当てて研究を進めた。研究成果として，この問題に対するいくつかの部分的解決を得た。また，この研究をきっかけに，国内外において新たな研究の進展が得られていることも間接的には研究成果と言えるものと考えている。
自由記述の分野	数物系科学
研究成果の学術的意義や社会的意義	空間内の結び目を数学的に研究する際，その補空間に着目することが多くなされている。実際，結び目が同値（連続変形でうつりあう）ならば補空間は同相（位相幾何において等しい）ということが容易にわかる。しかし，その逆，補空間が同相ならば結び目が同値になるか？という問題は自明でなく，長い間，未解決問題であった。1980年代にこの問題は最も基礎的な3次元球面内の結び目については肯定的に解決されたが，一般の3次元多様体内の結び目については現在も未解決である。本研究では，レンズ空間と呼ばれるクラスの3次元多様内の結び目についてこの問題を研究し，いくつかの部分的解決を得た。