| 研究課題/領域番号 |
18K03288
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| 研究機関 | 日本女子大学 |
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研究代表者 |
藤田 玄 日本女子大学, 理学部, 准教授 (50512159)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | トーラス作用 / シンプレクティック多様体 / トーリック多様体 / Dirac作用素 / 同変Kホモロジー / Gromov-Hausdorff収束 |
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| 研究実績の概要 |
主な研究実績は以下の2点である。
1. トーラス作用の軌道に沿ったDirac作用素の摂動のKKペアリングとしての記述
昨年度までに適当な仮定をみたすコンパクトとは限らない多様体上のトーラス作用の軌道に沿ったDirac作用素の摂動により同変Kホモロジー群の要素を定まることがわかっていた。Bravermanの類似の構成による同変Kホモロジー群の要素について、Loizides-Songは摂動をKK理論の枠組みのペアリングとして記述できることを示している。同様の議論を行うことで我々の構成もKKペアリングとして実現できることがわかった。
2. Delzant多面体のHausdorff収束とトーリックケーラー多様体のGromov-Hausorff収束
昨年度までDelzant多面体からKahler商として記述されるKahler計量をもったシンプレクティックトーリック多様体について、Delzant多面体のHausdorff収束と対応するトーリック多様体のGromov-Hausdorff収束の関係を考察した。今年度は、シンプレクティックトーリック多様体上のより一般のトーラス不変Kahler計量のGromov-Hausdorff収束について考察した。そのような計量はGuillemin-Abreu理論によりDelzant多面体上のある凸関数(ポテンシャル関数)のHessianにより記述される。Delzant多面体とポテンシャル関数の組に対して適当な収束を考えるという方針で考察をすすめ、トーリック多様体の稠密開集合上で定義される作用-角座標系を用いてGromov-Hausdorff収束を示すという着想を得た。しかし、多面体の境界付近でのポテンシャル関数の振る舞いとRiemann距離の関係が不明瞭であることから決定的な結論は得られていない。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
引き続きコロナ禍による種々の対応にエフォートを取られたため。また、問題点や考察すべき点は明確になったが、出張に赴いて関係者と直接議論する機会が激減したため、それらを打開する決定打を打ち出せなかった。
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| 今後の研究の推進方策 |
摂動をKKペアリングとして記述することで得られる応用として、同変指数の同境不変性や消滅定理がある。しかし、これらはすでに別の議論で得られているものであり、証明の簡略化とまではなっていない。ペアリングのありがたみを感じることができる応用を模索する。また、トーリック多様体上の計量の収束について、Kahler幾何の枠組みで知れているDelzant多面体の収束を経由しない例を参考にしながらDelzant多面体の収束の理論との関係のより深い理解を目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2020年度使用することができなかった旅費が2021年度も使用することができなかったため。2022年度は比較的自由に出張もできるようになったので、研究会への参加や研究打ち合わせを積極的に行うことで旅費を使用する。
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