| 研究課題/領域番号 |
18K03301
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
佐治 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 教授 (70451432)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 特異点 / 波面 / 特異点判定法 / 平均曲率 |
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| 研究実績の概要 |
引き続き研究課題を達成するために特異点判定法の研究を行った。低次元多様体間の写像によく現れる特異点のうち、余階数が2以上のものに対して特異点集合上で微分の核を生成するベクトル場の挙動を調べ、D4型特異点よりさらに退化した特異点の判定法を得る可能性が高まった。関数の特異点に対してもすでにある判定法を改良して、特異点を持つ曲面との接触を調べられるものにした。
特異点を持つ回転面で与えられた平均曲率を持つものの構成問題に対して錐状特異点となる場合が未解決であるがこの場合に対して因子の補題を適用して解決を図った。
特異点をもつ回転面の研究から派生して重複度が有限である平面曲線のサスペンジョンとなっているような特異点に対してその周りでの微分幾何的性質を調べた。まずはこの特異点の標準形を導入してそれらの低次の後から順に係数を見ていくことにより、微分幾何的量が記述できるようにした。次にその特異点の判定法を与えた。平面曲線の退化度が高いと偏りと呼ばれる不変量が関係するためにそれを見越した判定法にする必要があった。この特異点に対して微分の核方向から入射する曲線は行き先で特異点を持つ。したがって測地曲率・法曲率・測地捩率は一般には発散するが発散する次数は曲線の入射の仕方と特異点の曲がり具合によって様々に変わる。主に有界性に着目してこれらの間の関係を明らかにした。
他にも二重ファイブレーションによるルジャンドル双対性を用いた平坦曲面の研究、曲面の射影と曲率の研究、これまでの判定法の応用の研究、波面の特異点での曲率の研究、平均曲率が常に有界な波面の変形の研究などを行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
コロナ禍のために予定していた出張がほとんど行えなかったが直接討論による研究連絡が必要な研究課題は後に回して、単独で行う研究を主に推進することに切り替えた。そのために余階数が2以上のものに対して特異点集合上で微分の核を生成するベクトル場の挙動などを詳細に調べることができるなど、いくつかの研究が進展した。また、重複度が有限である平面曲線のサスペンジョンとなっているような特異点の共同研究に対しても役割分担をして必要なところはオンライン会議で相談することにより、直接討論ができなくても推進できる部分にしぼって研究することにより、研究全体としてみると、当初の予定程度には研究を進展させることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き研究課題を達成するために特異点判定法および微分幾何学の研究を行う。そのために当初の計画に従い、必要な特異点論の整備を行う。具体的にはマルグランジュの予備定理を二変数関数の場合に進化させて特異点の微分幾何学で重要な因子の補題を二変数関数をくくることができる補題に作り変える。これにより、余階数が2以上の特異点に対しても単位法線ベクトルを構成することが容易になる。これを用いて特異点の近くでの微分幾何的不変量を計算する。さらに、特異点の近傍での多重方向場方程式を書き下して特異点近辺での微分幾何的模様を研究する。
特異点を持つ回転面に対しては、与えられた法曲率をもつ場合の逆問題を考える。この場合の微分方程式は解けそうであるがうまく解けず、新たな方法が必要であると思われるため、多くの場合を検討して解決を図る。さらに錐状特異点となる場合はこの特異点を越えて生成曲線を与える構成法がない。この場合がうまくいけば、曲面の発展や錐状特異点を持つ波面の微分幾何や、平均曲率一定曲面の双対曲面など広範な応用が得られるため、解決させて応用研究に着手したい。
重複度が有限である平面曲線のサスペンジョンとなっているような特異点に対して今年度まででその点を通る曲線の発散次数を調べたが、その幾何学的意味をさらにはっきりさせる。また、二重方向場方程式も考えたい。
また、コロナ禍によって滞っていた共同研究者との直接討論も感染状況をみて再開していきたい。特異点の微分幾何学では梅原氏・山田氏およびオセットシンハ氏との研究討論を行う。波面とバンドル準同型の特異点に関してはドミトルシュ氏、重複度が有限である平面曲線のサスペンジョンとなっているような特異点はマルティンス氏、二重方向場方程式はタリ氏、ガルシア氏らとお互いのここ数年の研究状況を報告し合いながら討論することによってさらに研究を発展させる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍のために予定していた出張がほとんど行えず、直接の討論はコロナ感染状況が落ち着いた後で行うこととしたため次年度使用額が生じた。今年度はコロナ感染状況が落ち着きそうであるので、コロナ禍によって滞っていた梅原氏・山田氏およびオセットシンハ氏との波面の微分幾何に関する対面しての研究討論や重複度が有限である平面曲線のサスペンジョンとなっているような特異点に関するマルティンス氏との対面しての研究討論等に使う予定である。
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