| 研究課題/領域番号 |
18K03302
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| 研究機関 | 岡山大学 |
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研究代表者 |
清原 一吉 岡山大学, 自然科学研究科, 特命教授 (80153245)
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| 研究分担者 |
伊藤 仁一 椙山女学園大学, 教育学部, 教授 (20193493)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | フィンスラー多様体 / 定フラッグ曲率 / C射影同値 / 可積分測地流 |
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| 研究実績の概要 |
この研究は可積分測地流を持つリーマン多様体に関わるいくつかの主要な問題について、これまでの研究成果を踏まえつつ、更なる進展を目指すものである。研 究内容は大きく分けて4つあり、それらは可積分測地流を持つ特定のクラスの多様体の探求、共役跡とカットローカスの問題、C-射影同値の類似物の問題、ラプ ラシアンの固有値の分布、である。昨年度にFinsler多様体の関係で、上記の最初の問題と密接に関係する問題が出てきたので、昨年度に引き続き、今年度もその研究を優先した。その内容は以下 の通りである。
Finsler曲面でflag曲率が定数1であるようなものの分類はFinsler幾何において主要な未解決問題の1つであるが、R.Bryantの指摘により、その一部がZoll 曲面(測地線が全て閉じている曲面)からある種の変換によって得られることが知られていた。私は、Zoll曲面が可積分測地流を持ち、測地線の様子がよくわか ることを使って、Sabau氏、渋谷氏とともに、回転面の場合に上記の変換の具体的な表示を得た。より具体的には、問題のFinsler計量のパラメータによる表示式 を与えた。その結果は The geometry of a positively curved Zoll surface of revolution として論文の形にまとめ、Int. J. Geometric Methods in Modern Physics, vol. 16, Supp. 2 (2019) 1941003 (29 pages) DOI: 10.1142/S0219887819410032 に掲載された。
また、Hermite- Liouville 多様体上でのC射影同値の類似について多少の進展があり、それについて２、３の研究集会で講演した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
現状は研究実績の概要で述べた通りであり、新たに現れた問題に集中した結果、当初の計画からすれば、やや回り道をしている。しかしながら、新たに現れたこ の問題は研究計画全体の趣旨から見て、非常に重要であり、先に集中して研究する価値のあるものであるので、全体としては概ね順調に進展していると考えてい る。さらに当初の予定の部分も多少の進展があり、さらなる進展を見込める状況にある。
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| 今後の研究の推進方策 |
上記に述べた通り、研究計画にFinsler幾何関連の新たな方向が加わっているので、今後の研究はそれを含めた形に展開される。具体的には研究実績の概要で述 べたことの続編として、flag 曲率1の曲面の分類問題をZoll曲面だけでなく、いわゆる「Zoll射影構造」を持つ曲面まで含めて考察する。さらに同様の問題が高次元のFinsler多様体でもあり、類似 の対応が可能かどうか検討する。それらと並行して、上記にある、Hermite-Liouviile多様体上のC射影同値の類似についての研究を推進する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
予定していた研究集会の一部に参加しなかったため、次年度使用額が生じた。その分は次年度に新たな研究集会参加費用として使用する予定である。
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