| 研究実績の概要 |
4次対称群に対するWirtingerの不等式の証明についての検討をし, 一般の有限コクセター群に対するWirtingerの不等式の形の予想を得た. 更に, その証明の方針を立てた. オリジナルのGromovによるWirtingerの不等式はサイクルグラフ上の不等式であり, サイクルを正多角形としてユークリッド空間に埋め込んだ時に最適になるような不等式の族であった. 有限コクセター群の場合には, 予想される不等式は, コクセター群の幾何学的表現(つまり鏡映群としての表現)の表現空間に, コクセター群のケーリーグラフを同変写像で埋め込んだ時に最適となるような不等式の族になるであろうことは容易に想像がつくが, その係数を明示的に決定したというのが具体的な内容である. 証明の大まかな流れは, 我々が以前得たGromovのWirtingerの不等式に対する別証明と同様の方針によりできると考えられる. しかし, サイクルに比べてコクセター群のケーリーグラフはかなり複雑になるために, その中のどの点たちにどのようにCAT(0)不等式を適用すれば良いのかを見出すところが問題になる. これに対して我々が得たアイデアは, コクセター群の全ての元の, 生成元の語としての表示を一つ固定し, この表示から定まるある4つの元に, 幾何学的表現の時に最適となるようなパラメータでCAT(0)不等式を適用し, それらを足し合わせるというものである. 4次対称群においては, このアイデアがきちんと機能することは確認した.
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