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2019 年度 実施状況報告書

Wirtingerの不等式の変種とその応用

研究課題

研究課題/領域番号 18K03305
研究機関鹿児島大学

研究代表者

近藤 剛史  鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60467446)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2022-03-31
キーワードWirtingerの不等式 / コクセター群
研究実績の概要

Wirtingerの不等式はGromovがサイクルグラフからCAT(0)空間への写像に対して示した不等式であったが, この不等式はPansuによってサイクルグラフの非線形スペクトルギャップが線形のスペクトルギャップと等しいことを示すのに使われた. このGromovによるWirtingerの不等式と類似の不等式をサイクル以外の有限グラフに対しても示すことができれば, それを用いて他の有限グラフに対する非線形スペクトルギャップの評価が可能になるのではないかというのが, 我々の研究当初の問題意識であった.
我々は幾つかのコクセター群についての具体的計算から, 一般の有限コクセター群に対してもWirtingerの不等式の変種が成り立つことを予想しており, その不等式の具体形を書き下すことまではできていたが, 証明は得られていなかった. これに証明を与えることができたというのが, 当該年度の主な研究成果である.
Wirtingerの不等式とは正確には不等式の族であるが, これらの不等式を適切に足し合わせることで, コクセター群のケイリーグラフの非線形スペクトルギャップのシャープな評価および計算が可能になるであろうと考えられ, これができると, 非線形スペクトルギャップが計算できる例が大幅に広がることになる.
また, 我々の示したWirtingerの不等式はパラメータを含んでおり, パラメータをうまくとることで, CAT(0)空間をターゲットとするコクセター群の歪みの計算も可能であると考えており, これらは今後の課題である.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

有限コクセター群に対するWirtingerの不等式の変種が証明できたため.

今後の研究の推進方策

Wirtingerの不等式の変種から従うと考えられる非線形スペクトルギャップの評価を行う. また, Wirtingerの不等式はコクセター群のケイリーグラフのみならず, より広いクラスの多面体の1スケルトンに対しても成り立つと予想している. これらのクラスをどう捉えればいいのかはまだ定かではないが, さらなる一般化に挑戦する.

  • 研究成果

    (1件)

すべて 2020

すべて 学会発表 (1件) (うち招待講演 1件)

  • [学会発表] グラフのラプラシアンと全域森の数え上げ2020

    • 著者名/発表者名
      近藤剛史
    • 学会等名
      測地線及び関連する諸問題
    • 招待講演

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公開日: 2021-01-27  

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