| 研究実績の概要 |
Gromovによって示されたWirtingerの不等式を用いることで, CAT(0)空間への写像に対する非線形スペクトルギャップがサイクルの場合には線形のスペクトルギャップと等しくなることがPansuによって証明されていた. この話をサイクル以外の有限グラフ, 特にコクセター群のケイリーグラフの場合に拡張できるかというのが, 本研究の問題意識であった.
昨年度までに既約な有限コクセター群のケイリーグラフに対する非線形スペクトルギャップは計算できており, 本年度は, 有限コクセター群に対するWirtingerの不等式の変種を, 一般の軌道多面体の1スケルトンに拡張し, これを用いて軌道多面体の非線形スペクトルギャップの計算を行った. これらの計算は3次元のアルキメデス多面体のほとんどや, 高次元正多面体, ゴセット多面体等の, コクセター群の退化した軌道の凸包として捉えられる多面体に対する非線形スペクトルギャップの計算を体系的に行ったことになっており, 線形の場合にも新しい計算になっているものと思われる. この計算により, 高次元も含めた全ての正多面体において, 非線形スペクトルギャップが線形の場合に一致することもわかる.
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