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2018 年度 実施状況報告書

2次元滑らか結び目解け予想の解決

研究課題

研究課題/領域番号 18K03306
研究機関大阪市立大学

研究代表者

松本 堯生  大阪市立大学, 大学院理学研究科, 数学研究所専任研究所員 (50025467)

研究分担者 鎌田 聖一  大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2022-03-31
キーワード2次元結び目 / 2次元ブレイド / チャート図の変形 / マルコフ型定理 / 4次元トポロジー
研究実績の概要

2次元滑らか結び目解け予想は1助変数の方法で初等的に解けるのではないかと考えて始めたのが1999年の論文であり、4次元空間内の向き付け可能な曲面を2次元ブレイド、さらにチャートという平面内グラフによって表現する方法が研究分担者鎌田聖一氏によって開発されていた。知られている反例は向き付け不可能な曲面に対するものしかないので2次元ブレイドを使用する限りこの反例について考慮する必要がないのも利点である。
与えられた結び目と自明な結び目との間に交点を許した2次元結び目の1助変数族を構成することは簡単にでき、補空間の基本群の可換性から交点の生成・消滅がカスプによってのみ起こるようにできる。この1助変数族を2次元ブレイドの1助変数族に変換することはマルコフ型定理であって、研究分担者鎌田聖一氏との2017年の共著論文の手法をうまく用いれば可能である。交点は動かないとしてマルコフ型定理を適用するので、最後のカスプに対応するチャートでの変形つまりノードと端点の融合は別途強制的に行うことができる。このことによって、交点が2個以上ある場合に、2重点の逆像が2次元球面と区間の直積の中で絡まることは自然に避けられる。交点数を減らす部分までを定理とした報告を数理解析研究所講究録に発表しており、最終段階で扱うべき対象は交点数1の単純ブレイドの1助変数族に限られる。
平成30年度の計画は、ここまでの部分の証明を詳しく書いた論文を書き上げて発表する予定であったが、最終段階での考察で自明なトーラス結び目を連結和すると自明になることが証明できるのではに興味が向いてしまい、そちらに力を注いだこともあり、論文執筆は次年度以降にずれ込むこととなった。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

これまでに得られた結果は本質的なところで図を使う場合が多く、執筆に手間と時間がかかっている。分かりやすい結果できれば予想の解決あるいはそれに近い結果を得たところで発表したいということもあり、進捗状況はやや遅れていると言わざるを得ない。

今後の研究の推進方策

我々以外にも予想解決に関心を持つ研究者も現れ、いろいろな解決方法にも目を注ぎながら、注意深く我々の研究を進める。
まずは、問題となる2次元球面結び目は自明なトーラス結び目を連結和すると自明になることを証明するのがひとつの方策かと考える。それと並行して本来の研究目的達成に努力するのは当然である。

次年度使用額が生じた理由

家庭の事情もあり、平成30年度の旅費使用は小額となったが、研究進展に大変有効であった。従って次年度使用額は主に旅費に有効利用したいと考えている。

  • 研究成果

    (4件)

すべて 2018

すべて 雑誌論文 (2件) (うち国際共著 2件、 査読あり 2件) 学会発表 (1件) (うち国際学会 1件、 招待講演 1件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [雑誌論文] Presentation of immersed surface-links by marked graph diagrams2018

    • 著者名/発表者名
      Kamada Seiichi、Kawauchi Akio、Kim Jieon、Lee Sang Youl
    • 雑誌名

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      巻: 27 ページ: 1850052~1850052

    • DOI

      10.1142/S0218216518500529

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Biquandle cohomology and state-sum invariants of links and surface-links2018

    • 著者名/発表者名
      Kamada Seiichi、Kawauchi Akio、Kim Jieon、Lee Sang Youl
    • 雑誌名

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      巻: 27 ページ: 1843016~1843016

    • DOI

      10.1142/S0218216518430162

    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] On surfaces immersed in 4-space2018

    • 著者名/発表者名
      Seiichi Kamada
    • 学会等名
      4-dimensional Topology
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会・シンポジウム開催] Four Dimensional Topology2018

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公開日: 2019-12-27  

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