| 研究課題/領域番号 |
18K03310
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| 研究機関 | 東京電機大学 |
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研究代表者 |
佐藤 正寿 東京電機大学, 未来科学部, 准教授 (10632010)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | ホモロジーシリンダー / LMO関手 / Reidemeisterトーション |
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| 研究実績の概要 |
曲面のホモロジーシリンダーのなすモノイドにおいて、Y降下列と呼ばれるフィルトレーションがあり、これについて研究を行った。3次元多様体においてacyclicな局所係数の複体を与えたとき、Reidemeister(-Turaev)トーションと呼ばれる、その局所係数の環のK1群に値をもつ不変量が定まる。局所係数として、曲面の基本群の有理群環の添加イデアルのべき乗による完備化をとった環を考える。これは局所環であり、そのK1群はDieudonne行列式の値から計算することが可能である。
昨年度、これを用いてホモロジーシリンダーにおけるReidemeister-Turaevトーションの値を計算し、LMO関手における1ループの主要項と一致することを示した。また、グラフクラスパーに関する手術公式を与えた。本年度はこの結果について雑誌の掲載が決定した。またこの結果について、国内の研究集会で研究発表を1件行った。
また、上で与えたReidemeister-Turaevトーションは、Torelli群の降中心列に制限すると自明となるが、これはJohnson準同型の余核である榎本-佐藤traceを与えていることがわかる。これに関連して、Conantが与えた、より大きいJohnson余核を、ホモロジーシリンダー、もしくは、Goldman-Lie代数の文脈で記述することをこころみたが現在までに十分な結果は得られていない。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
既に本研究課題について、2本の論文が評価の高いトポロジーの雑誌への掲載が確定していたが、今年度はそれに加えて、Reidemeisterトーションに関する結果が評価の高い総合誌への掲載が決定しており、また、海外の研究者からも本研究に関して興味をもってもらえ、研究交流が行われている。その点から研究課題の進捗状況は順調であると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究としては研究実績の概要にも記した通り、Conantの与えたJohnson余核の記述を、何らかの形で行うことを目指したい。
また、LMO関手について、2ループ以上の部分が表す幾何的な意味を与えること、また、すでに計算しているLMO関手における主要項の次の項が与える情報の幾何的な意味を調べることを目指したい。これには、同変Casson不変量と呼ばれる量が関係していると類推されるが、現在までに方針は経っていない。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍により、国内国外出張の機会が大きく減り、本来旅費として使用する予定であったものがなくなったため。次年度の旅費や資料の購入などに使用することを予定している。
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