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2018 年度 実施状況報告書

葉層構造と群作用の研究

研究課題

研究課題/領域番号 18K03312
研究機関日本大学

研究代表者

松元 重則  日本大学, 理工学部, 名誉教授 (80060143)

研究分担者 平田 典子 (河野典子)  日本大学, 理工学部, 教授 (90215195)
研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2023-03-31
キーワード極小集合 / 左不変順序 / 力学系的実現
研究実績の概要

以下で群といえは加算群のこととする。群 G 上の全順序 < で群の左作用により不変なものを左不変順序という。その全体のなる空間 LO(G) は、離散なコンパクト距離空間をなす。左不変順序 a に付随して、群 G の実直線 R 上への作用 p を定めることができる。これは基準点 b 上自由な作用であり、G の元 g, h が g < h であるとき、p(g)(b) < p(h)(b) を満たす。この作用 p を順序 a の力学系的実現という。さて、ある順序 a が LO(G) の点として孤立しているとき、a を孤立順序という。孤立順序の力学系的実現は、ある種の剛性を有する。このため、孤立順序の研究は、興味深い。これに関して、我々は次のような結果を得た。(1)孤立順序の力学系的実現 p はコンパクトな基本領域 F をもつ。つまり、p の任意の軌道は F と交わる。このとき作用 p は極小集合 M を持つ。(2)極小集合が直線全体の時、G は可換であり、有理数全体のなす加法群の中に埋め込まれる。(3)a を孤立順序とするとき、G の a-凸部分群は有限個に限られる。ここに G の部分群 H が a-凸であるとは、 g < f < h かつ g と h が H の元であるとき、f もまた H の元であることを言う。
孤立順序の例としては、ブレイド群 B_n 上の Dubrovina-Dubrovin 順序が有名であるが、B_3 上には加算無限個の、互いに自己同型写像で移りあわないものがあることを示した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

研究実績の概要欄に述べた、加算群の孤立左不変順序の研究は、さらに進展して、ブレイド群 B_3 の孤立左不変順序の分類を得るところまでに至った。
また、松田能文氏との共同研究において、Thompson 群 F は invaribly generated であることを証明することができた。つまり、F の部分群で、全ての元に対し、その共役元を含むものは F に限る。

今後の研究の推進方策

ここ数年の研究代表者の研究は、群の1次元多様体(直線、円周)への作用に限られている。再度、葉層構造の研究に立ち返ってみたいとも、考えている。具体的には、2次元の双曲曲面を葉とする多様体の研究である。これに付随して、葉向単位接束上に測地流並びにホロサイクル流が定まるため、特に興味深い対象である。このような葉層構造の例を、極力広く考え、その共通の性質を調べたいと考えている。

次年度使用額が生じた理由

12月に Matilde Martinez 氏からの招へいを受け、モンテヴィデオを訪問した。このために、予定していた京都への出張を取り消すこととなった。これにより、次年度使用額が生じた。これは次年度の京都への出張、伊豆への出張旅費に充てる。

  • 研究成果

    (2件)

すべて 2019 2018

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (1件) (うち国際学会 1件、 招待講演 1件)

  • [雑誌論文] Dynamics of isolated left orders2019

    • 著者名/発表者名
      S. Matsumoto
    • 雑誌名

      Journal of the Mathematical Society of Japan

      巻: 印刷中 ページ: 印刷中

    • 査読あり
  • [学会発表] Works of Patrice Le Calvez2018

    • 著者名/発表者名
      S. Matsumoto
    • 学会等名
      Surface Dynamics, Montevideo, Urugay
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2019-12-27  

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