| 研究実績の概要 |
複素多様体の一般に特異点を持つ部分多様体がsemiregularとは, その多様体の変形に対する障害が属するコホモロジー群について, ambient spaceの適切なコホモロジー群から全射が存在することをいう。昨年度はこの概念を1次元の複素多様体から2次元の複素多様体への写像の場合に拡張し, semiregularityが成立するならば写像の変形に対する障害が消えることを示した。今年度はこの結果をいくつかの方向に発展させた。まず, n-1次元多様体からn次元多様体への写像の場合に拡張した。さらに, ambient spaceが変形する場合に, 写像も一緒に変形できるかという問題についても, semiregularityが成立するならば, 部分多様体のHodge classに関する自明な必要条件のもとで, 変形の障害が消えることを示した。Ambient spaceが変形するときに部分多様体も変形できるかという問題はvariational Hodge予想と呼ばれ, Blochによるsemiregularな部分多様体の場合の証明を除きほとんど分かっていない。この結果は余次元1の場合には, semiregularityはBlochが示した存在の証明よりも遥かに強い結果を与え, 部分多様体の変形をコントロールした形で実現できることを示す。また, 写像のsemiregularityの条件をLeray spectral sequenceを用いて解釈し直し, 変形の障害が消えるための, 容易に確認できる幾何的な条件を与えた。この条件は曲線の場合は古典的なCayley-Bacharachの条件と関係し, 高次元ではFriedmanの導入したinfinitesimal normal sheafに関係する。
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