| 研究課題/領域番号 |
18K03316
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
本多 尚文 北海道大学, 理学研究院, 教授 (00238817)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 超局所解析 / 多重超局所函手 / 解析的擬微分作用素 |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題は佐藤，河合，柏原らによって超局所函手を用いて導入された解析的擬微分作用素を，本来の解析的な範疇の増大度のみならず，Gevreyクラス，緩増大クラス，Whitney増大度クラス等の解析的に重要な増大度を持つ解析的擬微分作用素を函手的に構成し，その基本的な性質を確立することが目標である．
この為の重要な理論として柏原正樹，P.Schapira, L.Prelliらによるsubanalytci site上の層の理論や諏訪らによるチェックドルボーコホモロジーの理論が重要である．前年度までにこれらの理論を駆使することで，ある程度，本研究課題の目標を達成することが可能となっていた．本年度は，今までに開発した手法やアイデアを用いて，多重超局所作用素にもこの研究課題を拡張することを試みた．多重超局所函手は本研究代表者やL.Prelli, 山崎晋との共同研究から生まれた理論で，簡単に言うと，１つのみならず複数の多様体に沿って同時に超局所化を可能とする理論である．多重超局所函手によって生成されたオブジェクトは当然多重超局所作用素が作用すると期待されるが，今までその多重超局所作用素の構成方法が判然としなかった．本年度に，与えられた複数の多様体に対してその普遍部分多様体族を構成することで多重超局所作用素の基礎となる幾何的配置を実現するというアイデアを着想し，これにより一般的な枠組みで理論を構成することが可能となった．この幾何的な枠組み上でsubanalytic siteの層を考えると，前年度までの研究で得られた手法を駆使して種々の増大度を持った多重超局所作用素の族を与えることが可能となる．もちろん，まだ様々な基本的性質を確立することが残っており，それらについては来年度以降，集中的に共同研究者のPrelliらとの共同研究をおこなって明らかにしていく予定である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
研究実績でも述べたように，本研究課題を通常の超局所作用素から更に広いクラスである多重超局所作用素にも拡張できることが明らかになりつつあるから．
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| 今後の研究の推進方策 |
多重超局所作用素の基本的な性質を研究する．特に重要な問題は多重超局所作用素の合成についてである．この点については複数の困難な問題があると考えられる．コホモロジーとしての合成を構成するのは比較的容易であるが，実際の多重超局所作用素を与えるような核関数を具体的に書き下し，核関数の合成を具体的な積分を用いて表すのは容易ではないと考えられる．この点については，チェックドルボーコホモロジーで展開されている理論を拡張することで解決できるのではないかと期待している．次年度はこの点を中心に共同研究者と勢力的に研究を進める予定である．
ただ，来年度はコロナウイルスの影響で授業等にかなりの時間を割かなければならないと思われる．できる限り研究に費やす時間を確保するよう努力はするが，この点がかなり不透明であることはここに記しておきたいと思う．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
予定していた共同研究や成果発表がコロナウイルスによりとりやめとなった為．次年度については，やはりコロナウイルスにより現在のところ明確な使用計画はたてられない．
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