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解析的擬微分作用素は，佐藤，河合，柏原によって局所コホモロージー群の切断が定義する核関数として導入された。また，青木によってその表象理論が作られた。表象の列の増大度を制限することによって，Gevreyクラスやその双対ともいえる(Gevrey指標を持つ)Whitneyクラスのような種々の増大度を持つ解析的擬微分作用素のクラスを導入することが出来る。しかしながら，それらのクラスに対応する核関数を代数解析的手法で構成することは今迄出来なかった。
研究代表者は、近年のsubanalytic site上の層の理論および諏訪によるCech-Dolbeualtコホモロジーの理論の発展を利用することで、種々の増大度を持つ多重超局所化も含めた解析的擬微分作用素の核関数を関手的方法で構成できると考えるに至った。本研究の具体的な目標は、まずsubanalytic site上に射の多重超局所化関手を構成することで関手的な手段で擬微分作用素を構成し、さらに核関数をCech-Dolbeault理論を用いて具体的に型式の形で与えて表象理論を構成することである。
昨年度までの研究で、研究代表者とL.Prelliは普遍多様体の族という新たな概念を導入することで射の多重超局所化関手の構成に成功した。本年度はこれを踏まえてCech-Dolbeaultの理論を用いて具体的な核関数を与えることを試みた。特に重要な事は、Cech-Dolbeault理論では型式の積分からなる自然な作用素の作用を与えることが出来るが、それが本来の関手的に導入された作用と一致することを確かめることである。これはかなり困難であったが、複体間の射を細かく分割して丁寧に解析することで達成した。
本年度は研究者間の交流が難しくまたオンライン化に多くの時間がかかり、最終的な目標である表象理論の構成を試みることは出来なかった。
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