差分方程式の解の微分代数的・差分代数的性質

2021 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 18K03318
• 研究機関: 山形大学
• 研究代表者: 西岡 斉治 山形大学, 理学部, 准教授 (10632226)
• 研究期間 (年度): 2018-04-01 – 2023-03-31
• キーワード: 差分方程式 / 超超越性 / 微分超越性

研究実績の概要

本年度は一般の1階有理的差分方程式について、その解が超超越的であるための条件を明らかにすることを目的として研究を行った。1階有理的差分方程式の身近な例としては、コサイン関数や楕円関数の倍角公式がある。どちらも係数は定数のみであるが、本研究では係数を定数のみに限定しない。ガンマ関数がみたす差分方程式のように独立変数が係数に現れても良いとする。なお、特に1階線形差分方程式に対しては豊かな既存研究があるため、非線形を意識した研究を行っている。用語について、関数が超超越的とは、いかなる代数的微分方程式の解にもならないという性質で、今日では微分超越的ともいう。また微分超越的でないとき微分代数的という。
昨年度までに、2次式型の1階有理的差分方程式に対して微分代数的な超越関数解が存在するための必要十分条件を得ている。条件は係数のみの関係式で記述される簡潔なものであるが、定数係数の場合は有意義な条件にならない。したがって既存の定数係数方程式に対する研究を包含するものではない。
定数係数の場合には既存研究のうち特に重要と思われる3編を精査してきた。うち2編に対して昨年度までに重大な誤りを見つけている。誤りがあるのはそれぞれ全く別の箇所であるが、いずれも議論の継続を困難にするものであった。残りの1編はこれら2編とは議論の仕方が違うこともあり、精読に時間がかかっていたところ、本年度になってようやく誤りを発見した。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

既存論文の証明を詳しく検証し、その不備を解消しようという過程において、有意義な結果を得た。本研究はもともと広く1階有理的差分方程式の解の超超越性を対象としており、研究目的にかなう方向で進展していると言える。
また、参考論文として挙げていた既存論文3編すべてに対して誤りを見つけたことは重要である。

今後の研究の推進方策

非定数係数方程式に対しては、有意義な結果が得られた。この間に定数係数方程式の何が難しいかが見えてきている。新たに見つかった誤りが回避あるいは解決可能なものなのかを研究する。また、引き続き文献収集により古典的な手法を発掘・再評価する。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウィルス感染症により出張ができなかったため、次年度使用額が生じた。
翌年度は出張ができれば使用する。学会がオンラインになれば参加費に使用する。