研究課題
本研究は研究代表者の論文 Deficiencies of holomorphic curves in algebraic varieties（東北数学雑誌 2012）の研究を継続するものである。 射影的代数多様体に値を持つ整正則曲線ｆの除外指数を考察した。底点を持つ一次系に属する因子とｆについて以前に得られていた第2主要定理の精密化を行い、1つの結果を得ることができた。以前の定理では、底点に関する個数関数と因子に関する個数関数との関係について考察がされていなかった。底点に関する個数関数が因子に関する個数関数に対してどのように影響を与えるかは重要な問題である。本研究ではこの問題について考察し以前に得られていた第2主要定理を改良することができた。これはW.Chenによる第2主要定理に対応するものであるが、この形では個数関数の打ち切りのレヴェルを決定することは困難である。打ち切りのレヴェルを決定することは非常に重要な問題であり、現在も研究継続中である。上記の論文において第2主要定理を用いてｆの除外因子の集合の構造について構造定理を与えた。この構造定理を用いて、空でない底点を持つ1次系と除外指数が対応することを示した。本研究ではこれを拡張して、このような1次系をパラメトライズするようなグラスマン多様体を考察した。このようなグラスマン多様体上に新しい除外指数を定義してその評価式（除外関係式）を与えた。またこの観点から上述の論文で得られた構造定理について1つの統一的な観点を与えた。これらの結果は研究会等で発表済みであり、概要は論文 Holomorphic curves and linear systems in algebraic manifolds に纏められ、Springer-Birkhauser社より刊行の論文集に出版された。証明の詳細を与えた論文は現在執筆中である。
2: おおむね順調に進展している
研究実績に述べたように射影的代数多様体に値を持つ整正則曲線 f の除外因子の集合の構造の研究を行った。底点を持つ一次系に属する因子とｆについて以前に得られていた第2主要定理の精密化を行うことができた。また除外因子の集合の構造と除外指数について統一的な視点を与えることを示唆する定理を証明することが出来た。この結果はｆの導来曲線を考察することの重要性を示唆する。複素射影空間上の整正則曲線に関するアールフォルス・ヴァイルの理論の拡張について研究を開始した。導来曲線は形式的なレヴェルにおいて拡張を見出すことができたが、有用な第2主要定理をえるためには前述の個数関数の打ち切りのレヴェルを与えることが必要となる。この点について研究を開始した。この導来曲線について除外指数を持つ曲線の実例を与えることは重要であるが、あまり研究されていない。指数型曲線を用いる方法が現在の処唯一の方法であるが、これを因子として超曲面を与えた場合に適用する方法について研究を行った。また空でない底点を持つ一次系に対して正の除外指数を持つ正則曲線を構成することは重要である。指数写像とその一般化を用いることにより、構成を行うことが出来ることを見出した。戸田暢茂氏による多くの研究の中にそのような構成を見出すことが出来た。現在指数型曲線を用いる研究を遂行中であり、多くの成果が期待できる。一般論に対応する理論を指数型曲線のような特殊な曲線を用いて構築することは1940 年代にJoachim Weylによって試みられた。これを因子として超曲面を与えた場合に研究することは意味があることである。またポテンシャル論的観点からの研究も興味がもたれる。
前論文 Deficiencies of holomorphic curves in algebraic varieties（東北数学雑誌 2012）において、指数型曲線を用いて空でない一次系に対し除外指数が0と1の間の任意の値をとるが底点をhitしないような正則曲線と一次系の例を構築した。このことは底点に関する除外指数は底点を正則曲線が近似するポテンシャル論的な度合を表すことを意味する。従って、 因子についての通常の除外指数もポテンシャル論的な意味を持つことがわかる。与えられた因子Dに対する接近関数の漸近的な増大度の評価を与えることは重要な問題である。従来この問題はあまり研究されていない。しかしながら森正気氏や、二反田篤氏等により研究され興味深い結果が得られている。特に二反田氏は定点を持つ一次系に関する接近関数を考察し、底点に対する接近関数がある増大条件を満たすような集合が射影的対数容量が零であることを証明した。この研究は2次元の一次系に関するものであるが一般の次元の一次系に対しても同様な評価が得られることが予想される。本研究では空でない底点を持つ接近関数の増大度の評価について研究を行う。この際に上述した指数型写像を用いた研究を行うことが有用であると考えられる。従来の研究とともにこの観点からの研究も行う。
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Analysis, Probability, Applications, and Computation , Trends in Mathematics (SpringerーBirkhauser)
巻: 1 ページ: 515－523
