2018 年度実施状況報告書

作用素環論を用いた量子ウォークの研究

研究課題

研究課題/領域番号	18K03325
研究機関	新潟大学
研究代表者	酒匂宏樹新潟大学, 自然科学系, 准教授 (70708338)
研究期間 (年度)	2018-04-01 – 2023-03-31
キーワード	量子ウォーク / 作用素環 / 複素解析
研究実績の概要	2018年度は本課題研究の初年度に当たる。数学、とくに量子ウォークの研究を行い、予想以上の成果を得ることができた。まだ学術雑誌にアクセプトされた論文はないものの、3編のプレプリントを作成することができた。現在、その内2編を学術雑誌に投稿しているところである。量子ウォークのうち特に空間一様量子ウォークの研究に多くの時間を割いた。一次元格子Z上の量子ウォークについては先行研究が多くあるが、その基礎付けは不十分であった。本研究では、まず量子ウォークの定義を与えることから着手した。この定義で用いられている条件---解析性---は非常に弱いため、これまでに研究されてきた量子ウォークについてはもちろんのこと、これまでに研究されてこなかった作用素についても量子ウォークの枠組みでとらえることが可能になった。空間一様量子ウォークの構造定理を示すことに成功した。空間一様量子ウォークはこれまでにもたくさん研究されてきたが、その直和分解や、既約性・非既約性については議論されてこなかった。一次元格子上の空間一様量子ウォークについて、その原子とも言うべき量子ウォークについてモデル量子ウォークという名前をつけた。新しい構造定理では、すべての一次元空間一様量子ウォークがモデル量子ウォークの直和に分解できることを証明できた。一次元空間一様量子ウォークの直和因子であるモデル量子ウォークに着目すると、与えられた量子ウォークが連続時間量子ウォークであるのか、そうでないのかを判定すること画できる。物理学への応用を考えると、これはきわめて重要な成果ではないかと、私は考えている。続いて、空間非一様、および空間一様量子ウォークについて共通する性質を示すことができた。この研究課題については今後も成果が得られることを期待できる。
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 1: 当初の計画以上に進展している理由研究は当初の予想よりも順調に成果が得られている。量子ウォークを定める作用素の解析性に注目するという新しい発想得たが、これが研究が進展した第一の要因である。一次元格子Z上の空間一様量子ウォークについて、そのフーリエ双対を考える研究は従来からある。しかしながらそのフーリエ双対についての解析性に注目する先行研究はなかった。解析性に注目することで、あらゆる解析的な空間一様量子ウォークについてそのフーリエ双対が局所的に対角化可能であることを示すことができる。その対角成分である、固有値関数は一次元トーラスTから一次元トーラスTへの解析関数を与えるが、その回転数によって、空間一様量子ウォークが連続時間で実現可能かどうかが判定できた。この研究成果には物理学的な意義がある。このように、一次元空間一様量子ウォークから研究成果を得ることができたが、そこで得られた洞察を元に、二つの方向で更なる研究成果を得ることができた。一つ目は空間非一様量子ウォークの漸近挙動に関する研究成果であり、もう一つは多次元格子状の量子ウォークの漸近挙動に関する研究成果である。それぞれ論文の執筆も順調に進行して、2編のプレプリントを公表することができた。
今後の研究の推進方策	本年度は解析性に注目することにより、一次元空間一様量子ウォークから研究成果を得ることができたが、そこから二つの方向で更なる研究成果を得ることができた。一つ目は空間非一様量子ウォークの漸近挙動に関する研究成果であり、もう一つは多次元格子状の量子ウォークの漸近挙動に関する研究成果である。この両方において更なる研究成果を得るべく、研究を進める。まず、一次元格子Z上の空間非一様量子ウォークの漸近挙動についてである。この種の量子ウォークについて漸近的にコンパクト台を持つことを示したが、極限分布の存在は一般には言えない。しかし、これは一次元格子Zに通常の距離を導入した場合の話である。一次元格子Z上には絶対値で与えられる距離以外の距離が導入可能である。それらの距離のうち、Zの大規模構造を保つような距離に着目したい。私はこれまでに、距離空間の大規模構造の研究にも携わっており、そこで培った知見を活かしていきたい。通常とは異なるものの、大規模構造が通常の距離と一致するようなZ上の距離のうち、量子ウォークに極限分布を与えるようなものが存在するかどうか、検証をしていきたい。つづいて、高次元格子上Z^n上の空間一様量子ウォークについて、その構造の研究を進めて活きたい。高次元の空間一様量子ウォークについてはそのフーリエ双対を考えることができる。さらにそのフーリエ双対について解析性を考えることができる。フーリエ双対の固有値は高次元の解析的部分集合を定めるが、その構造は代数幾何学的な考察により、構造を明らかにすることが可能かもしれない。今後も検証を重ねていきたい。
次年度使用額が生じた理由	本研究の計画では当初、様々な研究者・研究機関を訪ねて情報収集を行う予定であったが、解析性に注目するという発想を得たことにより、情報収集を行わなくても多くの研究成果を得ることができた。また個人的な家庭の理由によって、勤務先および自宅から離れるのが困難になった。そのため、当初の予定よりも旅費の支出が大幅に少なくなった。しかしながら、今後の研究の進展のためには、作用素環論、作用素論、複素解析学、代数幾何学、などについて情報収集を行う必要があるため、旅費や書籍の購入費用が必要になる。