| 研究課題/領域番号 |
18K03331
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| 研究機関 | 島根大学 |
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研究代表者 |
中西 敏浩 島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (00172354)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | タイヒミュラー空間 / 写像類群 / 離散群論 / 双曲幾何学 / リーマン面 |
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| 研究実績の概要 |
コンパクト双曲曲面のタイヒミュラー空間の大域座標系によって表現される写像類群の有理変換の力学系について研究を行った。タイヒミュラー空間は曲面上の有限個の閉測地線の長さの組による座標系を許容する，例えば，種数 g > 1の有向閉曲面のタイヒミュラー空間の各点は6g-5個の測地線の長さの組で決定される。これまでの研究で適切に選んだ閉測地線の長さの組による座標系を用いて写像類群を有理変換のなす群として表現できることが分かった。しかし，その有理変換を明示することは，種数や境界成分数が小さいときでも，一点穴あきトーラス群を除けば大変困難で，したがって曲面群のSL(2,C)表現空間上への作用の力学系の研究を困難にしている。本年度はタイヒミュラー空間の(実)次元が４の2点穴あきトーラス群と，次元は6の種数２の閉曲面群について，その写像類群の生成系の有理変換表現を計算した。これによって不定方程式の正整数解について興味深い結果を観察できたが，本来の目標である写像類群の複素力学的研究については結果を生み出せなかった。
数式処理ソフトを長時間駆使してファイバーが種数２の閉曲面となる円周上の３次元双曲ファイバー多様体を表すクライン群の候補を得ることができたが，離散判定が終わっておらず研究は完成していない。また昨年の研究の延長として種数3の写像類群の共役を除くすべての有限部分群の群表示をハンフリー生成元を用いて与える研究を行ったが，完成に至っていない。しかし，我々の研究は複素解析とトポロジー(位相幾何学）の橋渡しとなるものであり、様々な方面（例えばレフシェッツ・ファイブレーションの理論）への応用が期待でき，また複素力学系の研究に新しいページを加えるものなるので，今後も継続して行っていく。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
昨年度は所属する大学おいて数理科学科の学科長の入試問題作成の代表者の両方を務めた。昨年度は自然科学研究科への改組後の初年にあたり会議が多くて，研究に十分な時間を充てることができなかったことが，研究を遅らせる大きな要因となった。
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| 今後の研究の推進方策 |
2019(令和1)年度は2点穴あきトーラスと５点穴あき曲面の写像類群の力学系の研究に重点を置く。1点穴あきトーラスと4点穴あき曲面の写像類についてはこれまで非常に多くの研究があるが，それに比べタイヒミュラー空間の次元が４次元以上になると極端に乏しい。我々は写像類群の有理変換表現を用いて，その力学系と曲面群のSL(2,C)表現空間の位相的性質について研究を推進する。そのためには各写像類の不動点を求め，不動点のまわりの写像類のヤコビ行列の固有値を調べなければいけないが，膨大な計算が必要となる。その数式処理の技術を向上させることが今後の大きな課題となる。同時に昨年度からの継続課題であって研究過程の途中にある種数２の写像類群に含まれる三角群の分類を行い，双曲平面からタイヒミュラー空間への群の作用と共変な等長埋め込みの存在・非存在を調べる。また、この研究から具体的に求められる擬アノソフ変換の複素力学的性質を研究し、その固定点に付随する円上のファイバー構造を持つ双曲３次元多様体を具体的に構成する。その他、向き付け不可能曲面の写像類群の有理変換群としての表現や種数２の数論的フックス群の分類の研究も行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
（理由）
平成30年度においては学科長と大学入試問題作成責任者として多忙で，日本数学会をはじめとする研究集会にほとんど参加できず予定の旅費を消費することができなかった。
（使用計画）
2019年度中に開催される国際研究集会への出席や外国研究者招聘(A. Basamajian(CUNY,USA)やJ. Parker(Durham, UK)に充てる。
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