タイヒミュラー・モジュラー群の有理変換群への表現を用いた力学系の研究

2022 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 18K03331
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12010:基礎解析学関連
• 研究機関: 島根大学
• 研究代表者: 中西 敏浩 島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (00172354)
• 研究期間 (年度): 2018-04-01 – 2023-03-31
• キーワード: タイヒミュラー空間 / クライン群 / リーマン面 / 双曲幾何

研究成果の概要

タイヒミュラー空間の研究を行った。適切に選んだ閉測地線の長さを用いたトレース関数の組はコンパクト双曲曲面のタイヒミュラー空間の大域的座標系を与え，かつ写像類群を有理変換群に表現する。このことの応用として，2つ穴あきトーラス群のSL(2,R)の行列表現と写像類群の有理変換群表現を具体的に得た。
牛島顕氏との共同研究でフックス群のディリクレ基本領域の研究を行った。辺の数が極大数でないディリクレ基本領域の基点は「除外的」で呼ばれるが，第1種有限生成フックス群に対して「除外点」の集合が非可算無限集合であることを証明した。これは放物型元を含まないフックス群に対するJ. Feraの結果の一般化である。

自由記述の分野

複素解析学

研究成果の学術的意義や社会的意義

我々の研究は，写像類のタイヒミュラー空間への作用を具体的な有理変換として表現するもので，写像類の反復合成による軌道やその不動点の近傍における挙動などを実際の数値や有理写像をともなって計算することができる。まだ大きくは進歩していないが，タイヒミュラー空間や多変数複素力学系の新しい分野を拓くものである。また3次元双曲多様体論，不連続群論や整数論などに多くの応用をもち，今後の発展が他分野に与える影響は大きいと予想する。