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楕円型偏微分方程式の解について、存在と一意性、正則性などの解析的な性質を研究する方法はいくつかあるが、ペロンの方法に代表されるポテンシャル論的方法はその有力なものの一つである。特にソボレフ空間とそれに付随する容量の概念は、方程式の弱解の正則性を調べ、それが強解であるかどうかを判定するのに欠かせない道具である。本研究では、実解析学だけでなく、偏微分方程式論、多様体上の微分幾何学やグラフ上の解析学、電気流動学や弾性学などへの幅広い応用を念頭に、ソボレフ関数を利用して、楕円型偏微分方程式の解がもつ解析的な性質をポテンシャル論的方法により研究することを目的とする。本年度は次のような研究を行った。
２重層関数に対するソボレフの定理、Campanato-Morrey空間、ソボレフ関数の球面平均に対する増大性、単調関数の境界極限値について成果を得た。Non-doubling測度距離空間のMusielak-Orlicz-Morrey空間に属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフの不等式、一般化されたMorrey空間に属する関数の一般化されたリースポテンシャルの有界性、一般化されたgrand Morrey空間の前双対空間について成果を得た。距離空間上のMusielak-Orlicz空間に属する関数の一般化されたリースポテンシャルのGagliardo-Nirenberg不等式、central Morrey型空間における極大作用素やリースポテンシャル作用素の弱有界性について成果を得た。
重み付きのOrlicz空間に属する関数の一般化されたリースポテンシャルの原点の近くでの球面平均の極限値、Herz-Morrey空間におけるHardy-Sobolevの不等式に関する成果も得た。
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