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2018 年度 実施状況報告書

リーマン面の正則写像の研究――把手条件の拡張と応用

研究課題

研究課題/領域番号 18K03334
研究機関山口大学

研究代表者

増本 誠  山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50173761)

研究分担者 柴 雅和  広島大学, 工学研究科, 名誉教授 (70025469)
中村 豪  愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
増本 周平  香川高等専門学校, 一般教育科(詫間キャンパス), 助教 (30803861)
研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2022-03-31
キーワードリーマン面 / タイヒミュラー空間 / 等角写像 / 正則写像
研究実績の概要

Bochnerは,一般一意化定理の一般化として,有限種数gを持つ開リーマン面Rは同種数のある閉リーマン面に等角に埋め込まれることを示した。この事実は,Rを等角に埋め込ませる同種数の閉リーマン面の全体M(R)を調べる問題に行き着く。及川は,種数gのタイヒミュラー空間Tの部分集合とみなしたときM(R)が連結なコンパクト集合であることを示し,Heinsの定理を著しく改良した。柴は,g=1のとき,M(R)がタイヒミュラー距離に関する球であることを示した。我々は,g>1でRが位相的に有限である場合に柴の定理がどこまで拡張できるか調べた。Tの元は,種数gの固定された閉曲面Σから同種数の閉リーマン面Sの上への同相写像ηの組の同値類[S,η]である。そこで,RからΣの中への同相写像ιを固定し,M(R)をRからSの中への等角写像でηιとホモトピックなものが存在するような[S,η]の全体と定める。我々は,まず,Rの境界に沿って正であるR上の正則二次微分のうち境界長さ条件を満足するものからM(R)の元を構成する方法を編み出し,柴の流体力学的接続を一般化した。そして,閉リーマン面上の測度付葉層構造の理論を応用して,そのようにして得られたM(R)の元はM(R)の境界上にあり,M(R)の境界を埋め尽くすことを示した。g=1の場合と異なり,M(R)の境界上にあるリーマン面への等角的埋め込みは必ずしも一意ではない。さらに,補集合T-M(R)がM(R)の各境界点に深く関わる正則二次微分から定まるタイヒミュラー測地線できれいに埋め尽くされることを示し,その応用として,M(R)をT上の極値的長さ関数を用いて特徴付けることに成功した。最後の結果は,g=1の場合に増本が示したM(R)の特徴付けの一般化である。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

与えられた位相的に有限な種数正の開リーマン面を埋め込ませる同種数の閉リーマン面の集合を調べる問題において,最後の大きな障害を克服する道筋が得られ,本研究課題の最初の関門を通過できそうだから。

今後の研究の推進方策

挑むべき課題が2つある。第一は,種数有限だが必ずしも位相的に有限ではない開リーマン面を等角に埋め込ませる同種数の閉リーマン面の集合を調べることである。第二は,互いに同相な位相的に有限な開リーマン面の一方から他方への等角的埋め込みが存在する条件を求める問題である。これらの課題は把手条件の応用への第一歩である。

次年度使用額が生じた理由

国際研究集会「Prospect of theory of Riemann surfaces」に招聘した中央研究院数学研究所(台湾)所属の研究者が自身の研究費から旅費と宿泊費等を支出してくれたので,次年度使用額が生じた。次年度は助成金を,リーマン面論に関する研究打合せ旅費,中国で開催されるシンポジウムで成果発表をするための旅費,主宰する国際研究集会に中国から招聘する研究者3名の旅費,学術雑誌論文の閲覧料等に充てる予定である。

  • 研究成果

    (18件)

すべて 2019 2018 その他

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (15件) (うち国際学会 7件、 招待講演 11件) 備考 (1件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [雑誌論文] Generation of finite subgroups of the mapping class group of genus 2 surface by Dehn twists2018

    • 著者名/発表者名
      Nakamura Gou、Nakanishi Toshihiro
    • 雑誌名

      Journal of Pure and Applied Algebra

      巻: 222 ページ: 3585~3594

    • DOI

      10.1016/j.jpaa.2018.01.002

    • 査読あり
  • [学会発表] 対称水平截線領域のSchiffer spanの動き2019

    • 著者名/発表者名
      伊藤雅明,米谷文夫,柴雅和
    • 学会等名
      日本数学会2019年度年会
  • [学会発表] Actions of some mapping classes on extremal surfaces of genus two2019

    • 著者名/発表者名
      Gou Nakamura
    • 学会等名
      AMS Contributed Paper Session on Measure and Integration, Complex Variables, Differential Equations, Ergodic Theory
    • 国際学会
  • [学会発表] Weldings of Riemann surfaces with quadratic differentials2018

    • 著者名/発表者名
      増本 誠
    • 学会等名
      東工大複素解析セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] リーマン面の等角的埋め込み2018

    • 著者名/発表者名
      増本 誠
    • 学会等名
      香川セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] Ioffe rays of spaces of compact continuations of Riemann surfaces2018

    • 著者名/発表者名
      増本 誠
    • 学会等名
      名城大学ポテンシャル論セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] On uniqueness of compact continuations of Riemann surfaces2018

    • 著者名/発表者名
      Makoto Masumoto
    • 学会等名
      Prospects of theory of Riemann surfaces
    • 国際学会
  • [学会発表] 開リーマン面のclosings ― 周期行列の複素正規化と方向モジュラスおよびそれらの応用2018

    • 著者名/発表者名
      柴雅和
    • 学会等名
      日本数学会2018年度秋季総合分科会
  • [学会発表] Closings and the span of an open Riemann surface of finite genus2018

    • 著者名/発表者名
      Masakazu Shiba
    • 学会等名
      Prospects of theory of Riemann surfaces
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Hyperbolic surfaces with the largest maximal injectivity radius2018

    • 著者名/発表者名
      Gou Nakamura
    • 学会等名
      The 12th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 極値的円板を許容する閉リーマン面2018

    • 著者名/発表者名
      中村豪
    • 学会等名
      日本数学会2018年度秋季総合分科会
    • 招待講演
  • [学会発表] 閉リーマン面の最大単射半径を与える関数2018

    • 著者名/発表者名
      中村豪
    • 学会等名
      Geometry of Riemann Surfaces and Related Topics
    • 招待講演
  • [学会発表] Actions of some mapping classes on the Teichmuller space of genus two2018

    • 著者名/発表者名
      Gou Nakamura
    • 学会等名
      Prospects of theory of Riemann surfaces
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] The Jiang-Su algebra as a Fraisse limit2018

    • 著者名/発表者名
      Shuhei Masumoto
    • 学会等名
      Annual Conference on Several Complex Variables
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] The Jiang-Su algebra as a Fraisse limit2018

    • 著者名/発表者名
      増本周平
    • 学会等名
      香川セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] On a generalized Fraisse limit construction2018

    • 著者名/発表者名
      Shuhei Masumoto
    • 学会等名
      Prospects of theory of Riemann surfaces
    • 国際学会 / 招待講演
  • [備考] 山口大学研究者総覧

    • URL

      http://kyouin02.atm-y.jimu.yamaguchi-u.ac.jp/search/IST?ISTActId=FINDJPDetail&ISTKidoKbn=&ISTErrorChkKbn=&ISTFormSetKbn=&ISTTokenChkKbn=&userId=100000830

  • [学会・シンポジウム開催] Prospects of theory of Riemann surfaces2018

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公開日: 2019-12-27  

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