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2020 年度 実施状況報告書

リーマン面の正則写像の研究――把手条件の拡張と応用

研究課題

研究課題/領域番号 18K03334
研究機関山口大学

研究代表者

増本 誠  山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50173761)

研究分担者 柴 雅和  広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 名誉教授 (70025469)
中村 豪  愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
増本 周平  香川高等専門学校, 一般教育科(詫間キャンパス), 助教 (30803861)
研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2022-03-31
キーワードリーマン面 / 等角写像 / 閉接続 / 2次微分 / 自己溶接 / 擬等角写像 / タイヒミュラー空間 / イオフェ半直線
研究実績の概要

Rを正種数gの位相的に有限な開リーマン面とする。Rを等角に埋め込ませる同種数の閉リーマン面全体のなす集合M(R)をタイヒミュラー空間の枠組みで調べる研究が一段落した。同種数であるが同相ではないリーマン面の集合を統一的に扱うために,種数gの向きづけられた閉曲面Σを固定する。そして,種数gのリーマン面SとSからΣの中への向きを保つ同相写像ηの組の同値類[S,η]を対象とし,種数gのリーマン面間の連続写像の同値類を射とする圏Fを導入した。その上で,種数gのタイヒミュラー空間Tを,閉リーマン面が定める対象全体からなるFの充満部分圏と位置づけた。これにより理論の透明性が格段に上がった。複素多様体でもあるTの部分集合M(R)について,(1) Tから6gー6次元ユークリッド空間の上への同相写像でM(R)を閉球または1点に写すものが存在すること,(2) 1点に退化しない場合,M(R)はリプシッツ閉領域であるが境界は必ずしも滑らかではないこと,(3) M(R)を極値的長さ関数の等高面の包絡面として記述できること,(4) M(R)はタイヒミュラー距離に関して近接凸型であること,などを示した。また,R上の正則2次微分を用いて得られる自己溶接接続と名付けた等角的埋め込みを導入し,それらを使ってM(R)の境界を特徴付けた。種数が1の場合とは対照的に,種数が1より大きい場合には,M(R)の境界点への等角的埋め込みの一意性が成立しない例がある。一意性が成立するための十分条件も与えた。一方,M(R)の内点への等角的埋め込みの一意性が決して成立しないことも示した。
その他に,増本周平は,距離構造の商であってバナッハ空間の射影極限の概念と両立しうるものを考え,有界な場合に2つの商の間の距離を測る方法について検討した。また,中村は,種数6の向き付け不可能な極値的曲面の自己同型群を求める方法を再考した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

コロナ禍のため,予定していた中国での国際研究集会が開催できなかった。さらに,学科長として多忙を極めたため,研究のための時間を思うように確保できなかった。

今後の研究の推進方策

M(R)が興味深い性質を持っていることが判明してきた。それの多変数複素関数論的な性質を調べたい。また,M(R)の境界についてはかなりのことが分かってきたが,内部については解明されていないことが多く,それを調べることも重要である。さらに,これまでの結果を応用して,位相的に有限で互いに同相な開リーマン面の一方から他方の中への等角的埋め込みが存在するための条件について調べることが把手条件を拡張するための次の段階である。

次年度使用額が生じた理由

コロナ禍のため,中国で開催することを計画していた国際研究集会が延期になったのを筆頭に,学会などがすべてオンライン開催や中止に追い込まれたため,旅費を使用することができなかった。延期になった国際研究集会を令和3年度,場合によっては研究期間を1年間延長して令和4年度に中国で開催する。コロナ禍が落ち着くまでは効果的なオンライン会議のための機器の整備をし,コロナ禍が落ち着いたらより深い議論が可能な対面の研究打合せのための旅費に使用する。

  • 研究成果

    (9件)

すべて 2020

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (7件) (うち国際学会 5件、 招待講演 4件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [雑誌論文] On a generalized Fraisse limit construction and its application to the Jiang-Su algebra2020

    • 著者名/発表者名
      Shuhei Masumoto
    • 雑誌名

      The Journal of Symbolic Logic

      巻: 85 ページ: 1186~1223

    • DOI

      10.1017/jsl.2020.43

    • 査読あり
  • [学会発表] Automorphism groups of compact non-orientable surfaces of genus 6 with extremal metric discs2020

    • 著者名/発表者名
      中村 豪
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
  • [学会発表] リーマン面の接続2020

    • 著者名/発表者名
      増本 誠
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
    • 招待講演
  • [学会発表] Automorphism groups of non-orientable extremal surfaces of genus 62020

    • 著者名/発表者名
      Gou Nakamura
    • 学会等名
      AMS Fall Southeastern Virtual Sectional Meeting
    • 国際学会
  • [学会発表] Towards Fraisse theoretic approach to von Neumann algebras2020

    • 著者名/発表者名
      Shuhei Masumoto
    • 学会等名
      Prospects of theory of Riemann surfaces
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On compact Riemann surfaces with an automorphism group of maximal order2020

    • 著者名/発表者名
      Gou Nakamura
    • 学会等名
      Prospects of theory of Riemann surfaces
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Spans of an open Riemann surface2020

    • 著者名/発表者名
      Masakazu Shiba
    • 学会等名
      Prospects of theory of Riemann surfaces
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Hydrodynamic continuations versus self-welding continuations of Riemann surfaces2020

    • 著者名/発表者名
      Makoto Masumoto
    • 学会等名
      Prospects of theory of Riemann surfaces
    • 国際学会
  • [学会・シンポジウム開催] Prospects of Theory of Riemann Surfaces2020

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公開日: 2021-12-27  

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