• 研究課題をさがす
  • 研究者をさがす
  • KAKENの使い方
  1. 課題ページに戻る

2019 年度 実施状況報告書

サブラプラシアンに対する確率微分幾何学の構築と展開

研究課題

研究課題/領域番号 18K03336
研究機関九州大学

研究代表者

谷口 説男  九州大学, 基幹教育院, 教授 (70155208)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2021-03-31
キーワードサブリーマン多様体 / サブラプラシアン / マリアバン微分
研究実績の概要

1)サブリーマン多様体上のサブラプラシアンに対応する熱核を確率解析的手法で証明する際に用いるマリアバン・コバリアンスの非退化性の証明において,より一般的な「他のWiener汎関数による制約条件下での非退化性」という概念を導入し,多様体上でのマリアバン解析の展開に新しい局面を開いた.これにより,イールズ・エルウォーシー・マリアバンの手法によりサブリーマン多様体の構造を決定するベクトル束上の確率微分方程式の解の射影として得られるサブラプラシアンに付随する拡散過程の推移確率密度関数(熱核)の存在と滑らかさについてより統一的に証明する手法を確立した.
2)確率微分方程式のマリアバン微分可能性の証明をより簡便かつ明瞭に扱える論法を見出し,これまで「同様に証明できる」として詳しく証明されていなかった高階の微分可能性についても厳密な証明を確立した.これに際し,確率微分方程式が定める確率流のマリアバン微分可能性についても明らかにした.
3)ディラック測度の集中点への依存の超関数としての滑らかさがウィナー汎関数とディラック測度の合成に伝搬することの証明においてBochner積分が用いられていたことを再考し,ウィナー汎関数に関する部分積分の公式を超ウィナー汎関数にまで広げることでより簡明で初等的な証明を与えることに成功した.この手法は昨年度の成果であるグルーシン作用素の研究において得ていた着想をより一般化したものである.この形での熱核の具体表現に依り,短時間漸近展開を議論することが可能になった.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

多様体上でのマリアバン解析,さらに確率微分方程式の解と確率流について新たな展開を得た.また,熱核の滑らかさの証明に新たな手法を開発した.

今後の研究の推進方策

1)グルーシン作用素に付随する熱核の期待値積分を用いた具体表現を利用して,サブラプラシアンとして性質が変化するx=0という軸における熱核の短時間漸近挙動の様子を明らかにする.
2)equi-regularなサブリーマン多様体上のサブラプラシアンに付随する熱核の局所的な表示を,サブラプラシアンを決定する局所直交枠を用いた座標系を利用して具体的に与えることを,CR-多様体の場合を参考に,検証する.カルノー群がどのように寄与するかを解明する.

  • 研究成果

    (1件)

すべて 2019

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件)

  • [雑誌論文] An application of the partial Malliavin calculus to Baouendi-Grushin operators2019

    • 著者名/発表者名
      Setsuo Taniguchi
    • 雑誌名

      Kyushu Journal of Mathematics

      巻: 73 ページ: 417, 431

    • DOI

      10.2206/kyushujm.73.417

    • 査読あり

URL: 

公開日: 2021-01-27  

サービス概要 検索マニュアル よくある質問 お知らせ 利用規程 科研費による研究の帰属

Powered by NII kakenhi