| 研究課題/領域番号 |
18K03337
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
原 隆 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20228620)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | くりこみ群 / 臨界現象 / 低温相 / φ4モデル |
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| 研究実績の概要 |
臨界現象の解明は，統計力学の数理的研究における大きな研究テーマの一つである．
1970年代に「くりこみ群」のアイディアが 物理学者によって確立されてからほぼ10年で，その数学的に厳密な研究の一端が完成した．特に，「高温相」から臨界点に近づく際の臨界現象については，膨大な計算の結果として，ある程度満足の行く解析結果が得られた．ところが，系がその低温相側から臨界点に近づく場合の臨界現象は，これまでほとんど解明されないままになっている．最近の手法の発展でも，この未解決部分は実質的に避けられたままであり，低温相側からの臨界現象の解明は，臨界現象の数学的解析の中での，大きな未知のフロ ンティアである．本研究では，厳密くりこみ群の手法を大きく発展させて，この最後のフロンティアを開拓することを主目的とする．特にイジング模型および関連するφ4模型における低温相からの臨界現象の解明をめざしている．
これまでに内外の専門家と深く議論し，どのようなアプローチが可能か，それらの内包する困難は何か，などを探ってきた．その結果として，当初に想定してい たアプローチは，方向としては正しいという確信を得た．ただし，その議論の中で，(当初から予想していたことではあるが)いくつかの困難も当然， 明確になってきた．特に，当初から予想していた「large field の問題」が，やはり最大の問題であることがいよいよはっきりしてきた．現在，これらの困難（特に large field の問題）を解決すべく，様々な例にたいして計算を行っているところである．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
一昨年の9月から10月にかけてのイギリスのCambridgeおよびアメリカのPrinceton滞在に基づいて，昨年度は研究を進めた．その結果，この分野の現在の状況を十分に的確に把握することが出来てきている．特に，解決までの最大の問題（large field problem）をしっかりと抉り出すことができた．（この問題が最大の関門であることは当初から予想していたが，「どのように関門であるか，何が本質的に必要なのか」が見えるようになったのは昨年度の大きな進展である．）
この意味で，研究は順調であると言える. ただし，これからが正念場で，これまで世界の誰もが成し遂げていなかった手法を開発する必要が生じている，ある程度の目算はあり，日々挑戦中ではあるが， いつ頃までに突破口が開けるのか，現時点では確実に予測することは未だに難しい.
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでに得られた知見を元に，現在行っている解析を推し進め，突破口を開くのが最大の目的である. 特に，large field problem の解決に全力を注ぐ．そのため，ソフトなφ4乗モデルに関して，様々な方法での解析を行う．
Large field problem に関しては，それ自体も問題なのだが，むしろ，「低温相におけるクラスター展開の収束性」と，「くりこみ群によって低温相の どこまで踏み込めるか」との関わりにも本質的に効いてくる．クラスター展開とくりこみ群解析を並行して更に練磨し，large field problem との関わり合いを深く吟味しながら，この大問題の解決を目指す.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2019年度は，いくつかの国際会議に出席したり，海外および国内の大学を訪問して，さらに議論を深める計画であった．ところが，種々の理由から，当初は11月に予定していた海外出張を断念するにいたった．さらに，2020年3月に一月近くの海外出張を計画していたが，現在猛威を奮っているコロナ禍を避ける意味で，早々に1月末の時点で計画を断念した（専門が確率論であるため，このような事態になる危険性はある程度予想できた；かなり迷った決断だったが，現在では正しい判断だったと考える）．これらの事情から，予想外に多くの繰越金が発生してしまったものである．
今後の使用計画であるが，当然，当初は2019年度に行えなかった海外出張をたくさん行うことを計画した．しかし，現在のコロナ禍の様子を見ると，「いつ海外に行けるのか」が全く読めない．このような事情を鑑み，以下の二つの可能性を組み合わせて使用することを考えている．(1) 可能かつ必要な範囲で海外出張を行い，議論をさらに深めたい．(2) 海外出張が難しい場合，議論は Skype などで行い，科研費は高速な計算機の購入，または計算機センターを利用した研究のための計算，などに充てたい．（いくらネットが発達したとは言え，対面で議論するのとSkypeでは全く効果が違うので，対面での議論は重視したいところである．）
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