| 研究課題/領域番号 |
18K03340
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| 研究機関 | 兵庫県立大学 |
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研究代表者 |
楳田 登美男 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 特任教授 (20160319)
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| 研究分担者 |
山岸 弘幸 東京都立産業技術高等専門学校, ものづくり工学科, 准教授 (10448053)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | Dirac 方程式 / Maxwell 方程式 / １階偏微分方程式系 / 極限吸収原理 / 平滑化評価式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、新しいクラスの１階偏微分方程式系に対して、極限吸収原理、スペクトル密度関数のヘルダー連続性、及び平滑化評価式を導くことである。本研究で取り扱う１階偏微分方程式系は、これまでのスペクトル解析学では論じられたことのないクラスであり、上に述べた3つの目的のいずれか一つでも成功す れば、十分な成果になるものと考えている。Dirac 方程式、Maxwell 方程式の双方の一般化となる１階偏微分方程式系を考察する点が本研究のポイントであ り、この観点から、本研究の初年度である2018年度は、Dirac 方程式、Maxwell 方程式の両方のスペクトル解析の過去の研究論文を見直し、本研究の考察対象が妥当な新クラスであることを確認した。これに基づいて、2019年度は、Dirac 方程式の解に対して平滑化評価式の導出の研究に歩を進めて成功した。Dirac 作用素に対する極限吸収原理そのものは 1970年代に見出されており、いまとなっては新しい成果ではないが、従前の研究では平滑化評価式に繋がらない形の極限吸収原理であった。そこで、本研究では、Dirac 作用素のスペクトル関数の評価に基づいて極限吸収原理を確立し、そこから、さらにスペクトル測度、スペクトル密度へと研究を進めた。この方針が功を奏して平滑化評価式の導出に成功した。 本研究の重要性は、物理的背景においても、数学的な形式においても、まったく異なる2種の１階偏微分方程式系であるDirac 方程式、Maxwell 方程式の両方の一般化になっている点、および低階項を含んでいる点にある。この2つの重要なポイントを含む統一理論を目指しているところに、本研究の斬新性、独自性がある。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Dirac 作用素に対する極限吸収原理そのものは1970年代に見出されており、いまとなっては新しい成果ではないが、以前の研究では平滑化評価式に繋がらない形であった。実際、平滑化評価式の研究はおよそ4半世紀前に始まったものであり、1970年代には平滑化評価式そのものが存在しなかった。そこで、本年度研究では、2018年度に従前の極限吸収原理を見直して、新たな極限吸収原理を確立し、さらにスペトル測度、スペクトル密度へと研究を進めで、平滑化評価式の導出への道筋をつけた。しかしながら、2018年度は進捗状況を「やや遅れている」と評価せざるを得なかった。実際、2018年度は、Dirac 方程式に対する従前の極限吸収原理の見直し作業に予想以上の時間がかかってしまい、Maxwell 方程式に対する既存のスぺクトル散乱理論の見直しに十分な時間を割くことができなかった。結果的に、本研究の申請段階ですでに概ね成功していた Dirac 作用素に対する極限吸収原理の最終確認 (詰めの作業) と、スペクトル密度関数の ヘルダー連続性に関する成果の最終確認を終えたものの、Dirac 作用素に対する平滑化評価式を完全に証明するには至らなかった。
2019年度は、偶然のきっかけから突破口が開け、Dirac 方程式の解に対する平滑化評価式の完全な証明を与えることに成功した。 Maxwell 作用素の研究は取り掛かり始めたばかりであるが、Dirac 方程式に対する着想がMaxwell 方程式にもある程度有効であるとの感触を得ている。このような理由で『おおむね順調に進展している』と評価して良いと考えた。
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| 今後の研究の推進方策 |
2019年度は、Dirac 方程式に対する平滑化評価式を導くことに成功したので、その過程の議論、手法をMaxwell 方程式研究の観点から再度振り返る。並行して、Maxwell 方程式に対する従前の極限吸収原理を見直し、そこで得られた知見をもとに、Maxwell 方程式に対する平滑化評価式の導出に繋がる形で、スペクトル測度、スペクトル密度の研究へと歩を進める。 この準備作業を終えた後に、Maxwell 方程式に対する平滑化評価式の導出に本格的に取り組む。2020年度半ばにはMaxwell方程式に対する研究目標を達成したい。続けて、一般の定数係数強伝播系の１階偏微分方程式系のスペクトル解析の研究に進みたい。 すでに述べたように、Dirac 方程式、Maxwell 方程式の両方の一般化となっているような１階偏微分方程式系を研究するが、このような型の１階偏微分方程式系は全く新しい研究対象であり、したがって既存の研究成果がなく、手探りでの研究作業になるものと予測している。空間変数が一般次元の場合には複雑すぎることが見込まれ、空間次元が 2 の場合からのスタートになる可能性もあると考えている。しかし、仮に空間次元が 2 の場合の１階偏微分方程式系の研究が成功すれば、空間 3 次元、一般の空間次元へと研究に繋がることが予想できる。進捗状況によっては、空間次元を上げることを後回しにし、取り敢えず空間次元は 2、または 3 に限定して、特殊ではあるが、実質的に一般次元の考察に繋がる形の定数係数等方的１階偏微分方程式系を論じるのも、悪くない選択肢であると考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2020年3月に開催予定であった国際研究集会「偏微分方程式姫路研究集会」が新型コロナ感染症の流行のために取りやめた。この研究集会に招聘予定であったオーストラリアの研究者の経費は次年度に再度の招聘で使用することになった。また、この研究集会の日本人参加者数名の旅費も次年度に繰り越すことになった。
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