| 研究課題/領域番号 |
18K03340
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| 研究機関 | 兵庫県立大学 |
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研究代表者 |
楳田 登美男 兵庫県立大学, 理学研究科, 特任教授 (20160319)
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| 研究分担者 |
山岸 弘幸 東京都立産業技術高等専門学校, ものづくり工学科, 准教授 (10448053)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | Dirac 方程式 / Maxwell 方程式 / １階偏微分方程式系 / 極限吸収原理 / 平滑化評価式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、新しいクラスの1階偏微分方程式系に対して、極限吸収原理、スぺクトル密度関数のヘルダー連続性、及び平滑化評価式を導くことである。本研究で取り扱う1階偏微分方程式系は、これまでのスペクトル解析学では未開拓のクラスであり、ここに述べた3つの目的のうち, 一つでも導出に成功すれば、十分な成果になると考えている。
Dirac方程式、Maxwell方程式の両方の一般化となる1階偏微分方程式系を考察する点が本研究のポイントであり、この観点から2018 年度は、Dirac方程式、Maxwell方程式の両方のスペクトル解析の過去の研究論文を見直し、本研究の考察対象が1階偏微分方程式系の新しいクラスであることを確認した。これに基づいて、2019年度は、Dirac方程式の解に対して平滑化評価式の導出の研究に歩を進めて成功した。Dirac作用素に対する極限吸収原理そのも のは1970年代に見出されており、現在では新しい成果ではないが、従前の研究は平滑化評価式に繋がらない形の極限吸収原理であった。そこで、本研究では異なるアプローチを採用した、即ち、Dirac作用素のスペクトル関数の評価に基づいて極限吸収原理を確立し、次いで, スペクトル密度へと研究を進め、最終的にDirac方程式に対する平滑化評価式を導出した。2020年度 はMaxwell方程式に対しても、本研究の手法が通用することを確認し、Maxwell 方程式に対しても極限吸収原理、スぺクトル密度関数のヘルダー連続性、及び平滑化評価式に関する成果をあげた。本来の最終年度である2021年度は、Dirac方程式、Maxwell方程式の両方の直接的な一般化である斉次-非斉次型強伝播系に対して極限吸収原理の証明に成功し, スぺクトル密度関数の考察を行った。延長１年目の2022年度は斉次型強伝播系に対して平滑化評価式を導いた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
理由 Dirac作用素に対する極限吸収原理は1970年代に見出されていたが、当時の研究は平滑化評価式に繋がらないものであった。実は当時、平滑化評価式そのものが知られていなかった。 このような状況を受けて、2018年度に従前の極限吸収原理の手法を見直し、2019年度に一般的手法でDirac作用素に対する極限吸収原理を 確立し、さらにスペクトル測度、スペクトル密度関数へと研究を進め、平滑化評価式を導いた。2020年度には同じ一般的手法を用いて、同様の結果をMaxwell方 程式に対して得た。この時点で、本研究の一般的手法が、Dirac方程式、Maxwell方程式の双方に対して、有効であることが確認された。
以上の進展状況を受けて、2021年度は、定数係数強伝播型1階偏微分方程式系の中でも、非斉次形と呼ばれるタイプの作用素を研究した。上に述べたように, 本研究の手法は斉次系の作用素に対しても適用可能である。したがって, 本研究で扱う方程式は, 斉次系であるDirac方程式、および非斉次系であるMaxwell方程式の両方を包含している。手初めに、斉次形について極限吸収原理の確立、スペクトル測度、スペクトル密度の表示について調べた。斉次系の中で、特に等方的と呼ばれる場合には、平滑化評価式を導くことに成功した。非等方的な場合には、特性根、及べ初期データがある種の仮定を満たすという条件付きで, 平滑化評価式が成り立つことを証明した。これは新しい成果である。
2022年度は前年度の成果を受けて, 非等方的な場合に、特性根、及び初期データに対して, 前年度より緩い仮定の下で, 平滑化評価式を導いた。
「研究実績の概要」の項目でも述べた3つの目的と照らして、８割程度は目標を達成できていると考えている。このような理由で「おおむね順調に進展してい る」との評価を選んだ。
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| 今後の研究の推進方策 |
Dirac方程式、Maxwell方程式の両方を包含するようなタイプの一般の定数係数強伝播型1階偏微分方程式系に対して、極限吸収原理の確立、スペクトル測度、スペクトル密度の表示、および平滑化評価式の導出を完全に一般的な仮定のもとで行うことが望まれる。上記の項目【現在までの進捗状況】で述べたように、等方的な場合には満足いく成果が得られたが、非等方的な場合の成果は完全に満足いくものであるとは言えない。とは言え、非等方的な方程式系は全く新しい研究対象であって、既存の研究成果が存在せず、本研究の成果は新しいものである。しかし、さらなる発展の余地があるのも事実である。すなわち、非等方的な場合に、特性根、初期データに関する仮定を妥当なものにして, 平滑化評価を導くのが望ましい。
非等方的な場合の困難は、特性根が交差することにある。特性根が交差するような点の集合は角のある多様体になり、状況が非常に複雑である。 複雑さは、空間次元が高くなるほど増すことが経験的に知られている。そこで、一時退却して、空間次元=2の場合から始めるのも一案であろう。空間2次元の場合には、多様体を視覚的に捉えやすいからである。場合によっては、非等方的な定数係数強伝播型1階偏微分方程式系のサブクラスを導入して、望ましい結果に至る方が良いのかもしれない。このような試みが空間3次元の場合の取り扱いに対する洞察に繋がることを期待している。過去の経験から、空間3次元の場合を突破出来れば、一般の空間次元の研究に繋がることが多い。もし, このストーリー展開が破綻した場合には、非等方的な定数係数強伝播型の攻略は止め て、等方的な場合に退却して、未知のスペクトル的性質の探求へと軌道修正する可能性も検討している。或いは, 変数係数強伝播型1階偏微分方程式系への第一歩として, ポテンシャル項を付け加えることも検討している。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本研究では支出のほとんどを旅費が占めるような使用計画を立てていた。しかし、2020年度、2021年度の両年度はコロナ禍の為に、国内外を問わず研究集会、学会が開催されなかった。このため、2022年度の単年度だけで上記2年度分の未使用予算を使い切れなかった。2023年度には M.K. Schmidt 教授（イギリス・カーディフ大学）を9月に訪問して, ディラック方程式に関する研究打合せを予定している。また, 9月末にチリで開催予定の国際学会に参加して, 成果発表を行いたい。これら２度の海外渡航, 滞在ための費用として使用する計画である。ただ, 航空券代が高騰している現状に危惧している。
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