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2018 年度 実施状況報告書

種々の変換を用いた超幾何微分方程式の解析

研究課題

研究課題/領域番号 18K03341
研究機関城西大学

研究代表者

大島 利雄  城西大学, 理学部, 客員教授 (50011721)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2023-03-31
キーワード国際研究交流 / 超幾何微分方程式 / 多変数超幾何関数 / 接続問題 / middle convolution / 普遍開折 / 不確定特異点
研究実績の概要

Riemann球面上の不分岐不確定特異点をもつ線形常微分方程式に対し,リジッド指数を保ったままFuchs型線型微分方程式の特異点を変数とする系の中に埋め込むという普遍開折を定義し,その存在の予想を定式化した.さらにアクセサリー・パラメータが存在しないリジッドな場合などを含んで予想が正しいことをversal additionとmiddle convolutionという2つの変換を用いて示した.これにより,リジッドな場合は,接続問題や解の積分表示など解析的性質がよく分かっているFuchs型の場合の自然な合流として不分岐不確定特異点をもつ方程式が具体的に得られ,不確定特異点をも持つ場合の接続問題や積分表示について,一般的な解析への道が開けた.

特異点を4点以上持つリジッドなFuchs型線形常微分方程式は,自然に多変数のKnizhnik-Zamolodchikov方程式に拡張されるが,不分岐不確定特異点をもつリジッド線形常微分方程式は,普遍開折まで拡張した多変数のKnizhnik-Zamolodchikov方程式に埋め込めることが分かった.このようにして多変数の不確定特異点型超幾何微分方程式の一般的構成と合流過程が統一的に扱えるようになった.最も簡単な場合には,AppellのF1, F2, F3, F4の種々の合流型超幾何の多変数超幾何微分方程式が得られる.

普遍開折上に,多変数化も含めて middle convolution が自然に作用することが分かり,解の接続問題や漸近展開にどのような変換を引き起こすかが計算可能となった.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

単独高階で確定特異点と不分岐不確定特異点を許す線形微分方程式の普遍開折の定義と,それに対するversal additionとmiddle convolutionの変換を具体的に記述した.これにより,リジッドな場合などに普遍開折の存在証明が得られた.

リジッドなFuchs型常微分方程式の半局所モノドロミーの代数的計算公式を与えた.これによりリジッドで不分岐不確定特異点を持つ線型微分方程式の不確定特異点における局所モノドロミーも得られた.

今後の研究の推進方策

リジッドなFuchs型方程式を元に扱える多変数のKnizhnik-Zamolodchikov方程式や普遍開折には多くの興味ある具体例が含まれるので,多くの例について接続問題や解の表示について具体的な結果を得ると共に,一般論として得られる結果の定式化を求めていく.特に不確定特異点の場合のストークス係数や多変数超幾何とmiddle convolutionとの関連を調べる.

複雑な具体的計算を効率的に行うため,数式処理言語 Risa/Asir 上のプログラムを開発していくと共に,そのマニュアルを整備し,公開する.

複素領域の微分方程式の研究を行っている熊本大の原岡氏,千葉大の廣惠氏などと最新の研究情報を交換して必要に応じて共同研究を行い,アクセサリー・パラメータ研究会を主催し,国内外の関連分野の集会への出席・講演などによって研究に必要な情報を得る.

次年度使用額が生じた理由

参加を予定していた3月開催の2つの研究集会の日程が重なり,一方の数式処理関連の研究集会に参加が出来なかったため.欠席した研究集会はその後の発展を含めた内容で翌年度に再度開催されるため,それへの参加を予定している.

  • 研究成果

    (11件)

すべて 2019 2018

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 1件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (9件) (うち国際学会 2件、 招待講演 2件)

  • [雑誌論文] Fuch型方程式の接続問題2019

    • 著者名/発表者名
      大島利雄
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録

      巻: 2101 ページ: 98-118

    • オープンアクセス
  • [雑誌論文] Semilocal monodromy of rigid local systems2018

    • 著者名/発表者名
      Toshio Oshima
    • 雑誌名

      Formal and Analytic Solutions of Diff. Equations, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics

      巻: 256 ページ: 189-199

    • DOI

      978-3-319-99148-1_10

    • 査読あり
  • [学会発表] 接続公式の合流2019

    • 著者名/発表者名
      大島利雄
    • 学会等名
      ウィンターセミナー 2018
  • [学会発表] 接続問題の合流と開折2019

    • 著者名/発表者名
      大島利雄
    • 学会等名
      代数解析学の諸問題
  • [学会発表] 合流と開折 -- 接続問題と多変数化2019

    • 著者名/発表者名
      大島利雄
    • 学会等名
      アクセサリー・パラメータ研究会
  • [学会発表] Analysis of hypergometric systems via confluence and fractional derivative2019

    • 著者名/発表者名
      Toshio Oshima
    • 学会等名
      Representation theory of reductive Lie algebras
  • [学会発表] Hypergeometric equations with several variables -- connection problems and confluences2018

    • 著者名/発表者名
      Toshio Oshima
    • 学会等名
      FASPDE18
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 常微分方程式とKZ方程式の接続問題と合流操作とmiddle convolution2018

    • 著者名/発表者名
      大島利雄
    • 学会等名
      アクセサリー・パラメータ研究会
  • [学会発表] Confluence and unfolding of irregular singularities of hypergeometric equations2018

    • 著者名/発表者名
      大島利雄
    • 学会等名
      代数解析学の諸問題 - 超局所解析及び漸近解析 -
  • [学会発表] From Fuchsian ordinary differential equations on P^1 to equations with several variables and irregular singularities2018

    • 著者名/発表者名
      Toshio Oshima
    • 学会等名
      The Legacy of Joseph Fourier after 250 years
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 分かるFuchs型常微分方程式から不確定特異点をもつ多変数方程式へ2018

    • 著者名/発表者名
      大島利雄
    • 学会等名
      微分方程式と表現論

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公開日: 2019-12-27  

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