| 研究実績の概要 |
べき級数で与えられる多くの多変数超幾何函数が簡単な積分表示を持つことを昨年度示したが，今年度はその中での基本的なクラス, すなわち，AppellやLauricellaやより広いKempe de Ferietの超幾何を含む超幾何函数に対し，熊本大学の松原氏と共同研究を行って以下の結果を得た．
超幾何函数を特徴づける微分方程式を解析して，その方程式のrankや隣接関係式，特異点集合，既約性の必要十分条件を一般的に決定した．また，原点や無限遠点に関係する多くの特異点で特異点解消を行うことにより，n変数の超幾何函数のときは(n+1)!個の特異点での独立解を具体的に構成してそれらの間の接続公式を与えた．
さらに2変数超幾何でKnizhnik-Zamolodchikov型方程式を満たす場合には，留数行列のスペクトル型を具体的に決定することによって，他のすべての特異点での情報も得ることが出来た．また，GKZ微分方程式を満たすことを示し，より多くの変数の場合も既知の成果を合わせて使うことによって結果を示した．
6年にわたる当該研究において，middle convolutionを用いた解析を深めることを主な手法とし，多変数超幾何微分方程式について多くの成果を得た．不分岐不確定特異点をもつ常微分方程式については，普遍開折の概念を導入し，普遍積分表示やstokes係数の変換理論を与え，さらにrigidな場合はすべての特異点を変数とみて多変数超幾何微分方程式へ普遍拡張されることなどを示した．多変数の超幾何函数について一般的に解析する手法を確立し，rigidとは限らない今まで解析されていなかった広いクラスで基本的結果を得た．これらは構成的手法が用いられており，微分方程式の解析を行う多くの数式処理のプログラムを開発し，それをライブラリとして公開した．
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