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正定値行列は多変量解析の分野では共分散行列として現れる．また，この行列全体は対称空間，等質空間の重要な例として古くから研究されてきた．このような様々な方向から考察される空間においてラプラス-ベルトラミ作用素の簡明な形を与えることは，セルバーグ跡公式などへの応用が考えられる重要な結果だと考えている．
一次元拡散過程が常に一次元ブラウン運動の時間変更で表現され，三次元以上の場合は生成作用素がラプラス-ベルトラミ作用素でもブラウン運動の時間変更では書けないことから，二次元拡散過程はどちらとも異なる重要な研究対象である．等温座標の存在に深く関係するという意味でも重要であると思われる．
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