| 研究課題/領域番号 |
18K03348
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| 研究機関 | 愛知工業大学 |
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研究代表者 |
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 複素解析 / リーマン面 / クライン面 / モジュライ空間 / タイヒミュラー空間 |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題では、閉リーマン面のモジュライ空間及びクライン面のモジュライ空間それぞれの上で定義された最大単射半径関数を考察する。特に、この関数の最大値を与える極値的曲面における解析を行う。ここで最大単射半径関数とは、各リーマン面（あるいはクライン面）に対してその上の点における単射半径のうちの最大値を対応させる関数である。これはモジュライ空間の被覆空間であるタイヒミュラー空間上の関数に自然に持ち上げられる。タイヒミュラー空間の大域的な座標を導入することにより最大単射半径関数の性質を調べている。
本年度は、昨年度に続き種数２の閉リーマン面のタイヒミュラー空間に作用する写像類群の２元生成部分群の構造を調べ、標識付き極値的リーマン面にどのように作用しているかを考察した。タイヒミュラー空間のモデルとして、標準双曲多角形を基にした実７次元空間の部分集合を用いている。ここで考察した２つの生成元は、昨年度と同じperiodicな元とreducibleな元である。双曲正８角形から得られる標識付き閉リーマン面に対して、このreducibleな元の反復合成による像の座標にはある共通の性質があることが判明した。また、この部分群にはreducibleな元が２つ存在するのであるが、それぞれに対する不変量を得ることができた。これは、生成元による反復合成を記述する際の簡略化に期待が持てる。この他に、種数ｇが３以上の極値的クライン面で、最大位数の自己同型写像を許容するものの列をｇに関して与えた。これは各ｇに対するモジュライ空間の上の更に特殊な点を与えることになり、研究対象としてとても興味深いものと言える。この自己同型写像に関する研究結果は国内外の研究集会・学会において発表している。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本年度はCOVID-19の影響のため、学内業務の対応に多くの時間を費やす結果となった。このため、計画通りに研究時間を取ることは難しい状況であった。また、国内外の研究打合せのための出張を行うことができず、議論はオンラインで行わざるを得なかった。同じ分野の研究者から対面によるアドバイスを受けることができないことの影響は大きいものであった。
進捗状況は次の通りである。１．種数２の閉リーマン面のSchmutz Schallerの標準多角形に基づくタイヒミュラー空間のモデルにおいて、写像類群のある２元生成部分群のうちreducibleな２つの元に対して不変量を得ることができた。２．双曲正８角形から得られる標識付き閉リーマン面に対して、生成元の１つであるreducibleな元の反復合成写像による像の座標は２の平方根を用いた形で記述できることが判明した。この現象が、対象としている２元生成部分群の元すべてについて成り立つかどうかはまだ判明していないが、コンピュータによるいくつかの計算結果では成り立つ可能性が十分にある。３．種数２のタイヒミュラー空間上の最大単射半径関数を７変数で記述する問題については、昨年度と進捗は変わらず、フックス群の元をどこまで利用するかなどの詳細をまだ詰められていない状況である。
このように、進展した部分もあるが、いくつかのアイデアは未着手のまま本年度を終える形となってしまった。これらの状況により、進捗状況はやや遅れていると判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度の研究成果を踏まえて、リーマン面及びクライン面の最大単射半径関数の研究を進めていく。特に、最大単射半径関数の７変数による記述を完成させる。これにはフックス群による基本領域の像を調べる必要があるため、コンピュータを活用する。また、位相的モース関数としての性質を調べるために、関連する文献の研究結果を調べていく。この他に、標準双曲多角形によるタイヒミュラー空間のモデルに作用する写像類群において、これまでに構成した２元生成部分群がデーンツイストでどのように表現できるのかを調べる。また、双曲正８角形から得られる標識付き閉リーマン面に対して、この部分群の作用による座標の性質を求める。ここでもコンピュータを大いに活用していく計画である。種数２の閉リーマン面の研究とともに種数３の閉クライン面の場合についても着手する。研究を遂行する上で他の研究者との議論は重要なため、昨年度の経験をいかして、オンラインを十分に活用しながら必要な知識を教授していただく。出張が可能な状況になれば国内外での研究打合せやセミナーを行う。また、昨年度と同様に、知識を補うためにリーマン面に関連した文献を随時購入して研究を推進していく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
COVID-19の影響により、年間を通して予定していた研究集会や研究打合せのための出張をすべて行うことができなかった。このため、次年度使用額が多く生じてしまった。次年度においては、関連する文献を購入するために、次年度分の助成金と合わせて使用する計画である。また、出張が可能な状況になった場合には、国内外での研究集会や研究打合せをするための旅費として使用する計画である。金額は大きくなってしまったが、十分使用可能と考える。
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